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上図を参考にして、（2）を公式化すると次の定理を得る。

【公式】 ベイズの定理

$P_{B}(A)=\frac{P(A) \times P_{A}(B)}{ P(A) \times P_{A}(B)+P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) }$

【証明】

左辺$=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(A \cap B)}{ P(A \cap B)+P(\bar{A} \cap B) }=$右辺■

【第03講】 ベイズの定理の応用

天才数学者エルデシュですら間違えたという、あるテレビのクイズ番組に関係した問題を取り上げてみよう。

【問題】 3つの箱のうちA, B, C のうち１つだけに賞金100万円が入っている。あなたはAの箱を選んだのだが、司会者のモンティ・ホールは残り2つの箱のうちのBを開けて見せ、「これは空っぽです。あなたの選ぶ箱をAからCに変更してもいいですよ」と言う。変更すれば当たる確率は高くなるか。(モンティ・ホールのパラドックス)---

【解】 樹形図は下図の通り。したがって
　　　
箱を変更せずに賞金がもらえる確率は
　　　$\frac{\mbox{(ア)}}{ \mbox{(ア)+(イ)}}=\frac{1/6}{1/6 + 1/3}=\frac{1}{3}$
であり、Cに変更した場合の当たる確率はその余事象だから2/3になる。したがって変更した方が確率は高い。■

箱を変えていいというのはBとCの2つの箱に（二股）賭けてよいというのと同じである。変えなければA1個に賭けることになるので、確率がそれの2倍になるのは当然だ。

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