この図を$-45^{\circ}$回転してみると、なんだパスカルの三角形だ。この図から求めるべき答は56通りと分かる。
別解のように和の法則で計算すると面倒だと思った諸君！ 次の問題では和の法則を使わざるを得ない。
【問題】 下図のような街路がある。A地点からB地点までの経路は何本あるか。ただし東と南の方向にしか動けない。2か所の×は通行止めで立体交差が1か所ある。---
【解】
←
（マウスをかぶせると途中計算が出ます。）
29通り …（答）
【問題】 １円玉、10円玉、100円玉を合わせて5枚使って支払いをする。合計金額はいろいろになるが、全部で何通りか。---
【解】 それぞれの枚数を $x, y,z$(枚)とすると合計金額は
$x+10y+100z$(円)
で、制約条件は
$x ,y, z \geq 0; x+y+z=5$
である。これは$X,Y,Z$の文字が書かれた玉を(どの種類の玉も十分たくさん) 袋に入れて、そこから計5個取り出す方法の数と同じである。これを$3$種類から$5$個を取る重複組合せと言う。
例えば
という重複組合せは
の表現することもできる。これは5個のまんじゅうと$3-1=2$個の仕切板を1列に並べる（＝同じものを含む順列）方法の数だから
$\frac{(5+3-1)!}{5! (3-1)!}=_{5+3-1}C_{5}=21$(通り) …（答）
【公式】 $n$種類から$r$個を取る重複組合せ$_{n}H_{r}$は、まんじゅう$n$個、仕切板$r-1$個、合計$n+r-1$個と考えて
$_{n}H_{r}=_{n+r-1}C_{n}$
いま、まんじゅうと仕切板で考えたが、下図のように街路図で考えることもできる。
赤い矢印がまんじゅうで、青い矢印が仕切板に相当する。
[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→
