【第2-2節】 順列・組合せ（書きかけ）[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→
【第2-2節】 順列・組合せ（書きかけ）Copyright (C) virtual_high_school, 2021
【第01講】 順列
【第02講】 組合せ
【第03講】 いろいろな順列
【第04講】 最短経路
【第05講】 重複組合せ
【問題】 1から4までの数が書かれた4枚のカードがある。ここから１枚取り出し数字を確認し元に戻して、また1枚取り出し…と繰り返す。取り出しを3回繰り返す場合、カードの出方は何通りあるか。---
【解】 下図のように考えればスロットマシンと同じだ。
積の法則により、$4 \times4 \times4 =4^3=64$(通り) …（答）
厳密に言うとホントのスロットマシンとの違いがある。具体例の1回目の「3」と1回目の「3」は同じカードだが、3のカードは1枚しかないのだ。ここは1〜4の4枚セットのコピーを3組取ってスロットマシンの窓に放り込むと考えるとよい。
なお、言い遅れたが上の問題を「4種類から3つ重複を許して選んで1列に並べる重複順列」と言い、$_{4}\Pi_{3}$と書く。
【公式】 $n$種類から$r$個を重複を許して選んで1列に並べる重複順列は
$_{n}\Pi_{r}=\underbrace{n \times n \times \cdots \times n}_{r}=n^r$
【問題】 $n$個の要素からなる集合の部分集合は何個あるか。---
【解】 この集合を
$A=\{ a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n} \}$
とすれば、それの部分集合$B \subset A$は
$a_{1} \in B$ か $a_{1} \not\in B$ かのどちらかの2通り、
$a_{2} \in B$ か $a_{2} \not\in B$ かのどちらかの2通り、
$a_{3} \in B$ か $a_{3} \not\in B$ かのどちらかの2通り、
$\cdots \cdots \cdots $
$a_{n} \in B$ か $a_{n} \not\in B$ かのどちらかの2通り
で決まるから、
$_{2}\Pi_{n}=2^n$（個）
例えばすべて$\not\in B$なら、その部分集合は空集合$\emptyset$である。
【別解】 部分集合の要素の個数は$0$から$n$までのどれかである。和の法則によりこれらの場合の数を順に足して
$_{n}C_{0}+_{n}C_{1}+_{n}C_{2}+\cdots +_{n}C_{n}=1+n+\frac{n(n-1)}{2} +\cdots+1=2^n$ …（答）
後述する組合せと数学Uで習う二項係数に関する公式を使った。
【問題】 あ〜ちゃん、かしゆか、のっちの3人が次のように並ぶ方法は何通りか。（曲により立ち位置が異なるのです。）---
(1) 壁を背にステージ上に1列に並ぶ。
(2) 円形ステージ上に1列に並ぶ。
(3) 円形ステージ上に円形に並ぶ。
【解】 (1) スロットマシンのイメージで考える。
前問と異なるのは例えば「左」に「あ、か、の」の3通りあるうちの「の」を入れたら、2つ目の「中」には残りの「あ、か」の2通りの選び方になる。最後の「右」には1通りの入れ方しか残らない。よって
$3 \times 2 \times 1 =3!=6$(通り) …（答）
このように$n!=n \times (n-1) \times \cdots 3 \times 2 \times 1$($n$の階乗と言う）という記号を使って表すことができる。（注意：$1!=1$は1を1個掛けるのだからよいとして、$0!$は0を0個掛けるのだから不定になりそうだが、$0!=1$と決めておく。理由は後述。）
(2) 「あ-か-の」の並び方も、反対側にいるオーディンスからは「の-か-あ」の並び方に見えるから、この2つの並び方は同じと解釈しなければならない。
