【第2-1節】 数え上げの原則[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→
【第2-1節】 数え上げの原則Copyright (C) virtual_high_school, 2021
【第01講】 集合の要素の個数
【第02講】 倍数・約数の個数
【第03講】 積の法則
【第04講】 和の法則
【第05講】 2個のサイコロ
（有限）集合$A$の要素（元ともいう）の個数を
$n(A)$
と表す。(number of A の頭文字)
【定理】(加法定理) 2つの有限集合の要素の個数について
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
が成り立つ。---
その理由は下の図を見れば納得できるだろう。
実際問題としては、この公式を使うより2つのパックマン
と真ん中の黄色の凸レンズに分けて
$n(A \cup B)=n(A \cap \bar{B})+n(\bar{A} \cap B)+n(A \cap B)$
で計算する方が早いことが多い。
集合の要素の個数に関係して、倍数・約数の個数について考えてみよう。
【問題】 7の倍数である3桁の整数は何個あるか。---
【解】 $1000$以下の正なる3の倍数は
$7 \times 1, 7 \times 2, 7 \times 3, \cdots, 7 \times 142$
である。なぜ最後が$7 \times 142$なのかと言うと、筆算で $7)999$ の割り算をして商と余り（実は余りは求めなくてもよいのだが）を求めると
$999 \div 7=142 \cdots 5$,
$999=7 \times 142+5$
だからである。同様に
$99 \div 7=14 \cdots 1$,
$99=7 \times 14+1$
だから、1〜999の中には142個の倍数があり、1〜99の中には14個の倍数がある。よって、求めえるべき個数は
$142-14=128(個) …（答）
注意。今のは3桁の整数だから問題にならなかったが、$0$ も $7 \times 0=0$ で7の倍数である。また、$-7=7 \times
(-1)$ で負の倍数もある。正の数に限定されないので注意しよう。ついでに、約数の方も負の約数というものが
あるので要注意。ただし $0$ は $0$ 以外の整数の約数にはなりえない。さらに言っておくと、$0$ の約数は
$0=0 \times 0, 0 \times (\pm 1), 0 \times (\pm 2), 0 \times (\pm 3),\cdots$
より、無数にあることが分かる。
【問題】 $360$ の正の約数は何個か。---
【解】 素因数分解する（下図参照）と、$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ である。素因数分解のコツは、$2,3,5,\cdots$と素数を小さい順に割れるか試していくこと。$3$で割るときに九去法（各桁の数字の和が$3$で割れれば元の数も$3$で割れる）が使えることを知らないと少しつらい。
さて、これの約数は
$2^a \cdot 3^b \cdot 5^c (0 \leq a \leq 3, 0 \leq b \leq 2, 0 \leq c \leq 1 )$
だから、その個数は
$(3+1)(2+1)(1+1)=4 \cdot 3 \cdot 2=24$(個) …（答）
【問題】 $360$ の正の約数を列挙し、その和を求めよ。---
【解】 さきに述べた約数の形から、それらは
$(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5)$
を展開して出てくるすべての項である。したがって、その和は
$S=\frac{2^4-1}{2-1} \cdot \frac{3^3-1}{3-1} \cdot \frac{5^2-1}{5-1} =15 \cdot \frac{26}{2} \cdot \frac{24}{4}=1170$ …（答）
約数を列挙すると下図のようになる。
【問題】 写真のようなダイアル錠がある。回すところが3段あって、各段には$0,1,2,\cdots,9$の数字が刻印されている。
