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【第2-1節】 数え上げの原則

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【第01講】 集合の要素の個数
【第02講】 倍数・約数の個数
【第03講】 積の法則
【第04講】 和の法則
【第05講】 2個のサイコロ

【第01講】 集合の要素の個数

(有限)集合$A$の要素(元ともいう)の個数を

$n(A)$

と表す。(number of A の頭文字)

【定理】(加法定理) 2つの有限集合の要素の個数について

$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

が成り立つ。---

その理由は下の図を見れば納得できるだろう。

実際問題としては、この公式を使うより2つのパックマン と真ん中の黄色の凸レンズに分けて

$n(A \cup B)=n(A \cap \bar{B})+n(\bar{A} \cap B)+n(A \cap B)$

で計算する方が早いことが多い。
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【第02講】 倍数・約数の個数

集合の要素の個数に関係して、倍数・約数の個数について考えてみよう。

【問題】 7の倍数である3桁の整数は何個あるか。---

【解】 $1000$以下の正なる3の倍数は

$7 \times 1, 7 \times 2, 7 \times 3, \cdots, 7 \times 142$

である。なぜ最後が$7 \times 142$なのかと言うと、筆算で $7)999$ の割り算をして商と余り(実は余りは求めなくてもよいのだが)を求めると

$999 \div 7=142 \cdots 5$,
$999=7 \times 142+5$

だからである。同様に

$99 \div 7=14 \cdots 1$,
$99=7 \times 14+1$

だから、1〜999の中には142個の倍数があり、1〜99の中には14個の倍数がある。よって、求めえるべき個数は

$142-14=128(個) …(答)


注意。今のは3桁の整数だから問題にならなかったが、$0$ も $7 \times 0=0$ で7の倍数である。また、$-7=7 \times (-1)$ で負の倍数もある。正の数に限定されないので注意しよう。ついでに、約数の方も負の約数というものが
あるので要注意。ただし $0$ は $0$ 以外の整数の約数にはなりえない。さらに言っておくと、$0$ の約数は

$0=0 \times 0, 0 \times (\pm 1), 0 \times (\pm 2), 0 \times (\pm 3),\cdots$

より、無数にあることが分かる。


【問題】 $360$ の正の約数は何個か。---

【解】 素因数分解する(下図参照)と、$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ である。素因数分解のコツは、$2,3,5,\cdots$と素数を小さい順に割れるか試していくこと。$3$で割るときに九去法(各桁の数字の和が$3$で割れれば元の数も$3$で割れる)が使えることを知らないと少しつらい。

さて、これの約数は

$2^a \cdot 3^b \cdot 5^c (0 \leq a \leq 3, 0 \leq b \leq 2, 0 \leq c \leq 1 )$

だから、その個数は

$(3+1)(2+1)(1+1)=4 \cdot 3 \cdot 2=24$(個) …(答)

【問題】 $360$ の正の約数を列挙し、その和を求めよ。---

【解】 さきに述べた約数の形から、それらは

$(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5)$

を展開して出てくるすべての項である。したがって、その和は

$S=\frac{2^4-1}{2-1} \cdot \frac{3^3-1}{3-1} \cdot \frac{5^2-1}{5-1} =15 \cdot \frac{26}{2} \cdot \frac{24}{4}=1170$ …(答)

約数を列挙すると下図のようになる。

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【第03講】 積の法則

【問題】 写真のようなダイアル錠がある。回すところが3段あって、各段には$0,1,2,\cdots,9$の数字が刻印されている。
   

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