【第1-3節】 空間図形(書きかけ)

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【第01講】 空間座標

【第02講】 点・直線・平面

【第01講】 空間座標

座標平面には座標軸が2本あるが、座標空間ともなれば座標軸は3本になる。その3本は右手系に設定される。

図のように、右手の親指$:x$軸、人差し指$:y$軸、中指$:z$軸のようにするのである。しかも、どの2本の座標軸も直交する。そうすると、$z$軸は$x-y$平面に垂直である。それは三垂線の定理から分かる。

【定理】 （三垂線の定理） 直線$l$と、1点で交わる2直線$l_{1},l_{2}$ があるとする。このとき $l \bot l_{1}$, $l \bot l_{2}$ ならば $l$ は$l_{1},l_{2}$が張る平面に垂直である。---

注意1。$l_{1},l_{2}$ は交わるだけでよく、直交しなくてもよい。
注意2。直線 $l$ が平面に垂直とは、$l$ が平面上にある任意の直線 $l'$ と垂直であることである。$l,l'$ が交わらない場合はどちらかを平行移動してよい。

【証明】 $l_{1},l_{2}$ と同じ方向のベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b}$ とする。この2直線が張る平面に載っているベクトルは $m \vec{a}+n \vec{b}$ ($m,n$は実数)となる。$l$ と同じ方向のベクトルを $\vec{p}$ とすれば

$\vec{p} \cdot \vec{a}=\vec{p} \cdot \vec{b}=0$

だったから、

$\vec{p} \cdot (m \vec{a}+n \vec{b})= m \vec{p} \cdot \vec{a}+n \vec{p} \cdot \vec{b}=0$ ■

いま直交、垂直という言葉が出てきたが、その説明をしておこう。

【問題】 下図のような立方体 OADB-CFGE がある。

(1) 辺(稜とも言う) OA と平行な辺をすべて挙げよ。
(2) 辺 OA とねじれに位置にある辺をすべて挙げよ。
(3) 辺 OA と直交する辺をすべて挙げよ。
(4) 辺 OA と垂直な辺をすべて挙げよ。
(5) 面 OADB と平行な面をすべて挙げよ。
(6) 面 OADB と垂直な面をすべて挙げよ。---

【解】 (1) 平行には、2直線が平行、直線と平面が平行、2平面が平行、がある。2直線が平行の場合には、2直線が同一平面上になければならない。
答は BD, CF, EG.
(2) 同一平面上にない2直線が交わらないとき、ねじれの位置にあると言う。答は CE, BE, FG, DG.
(3) 垂直に交わるのは、OB, OC, AD, AF.
(4) 「垂直」だから交わらなくてもよい。どうやって角度を測るかと言うと平行移動してきて交わらせておいて、できる角を測ればよいのであった。
答は OB, OC, BE, CE, AD, AF, DG, FG.
(5) CFGE のみである。
(6) 交わらなくてもよいと言いたいところだが、直線と平面が垂直な場合は絶対交わる。
答は OAFC, ADGF, BDGE, OBEC.

【第02講】 点・直線・平面

ユークリッドの原論第11巻に空間図形（立体）が出てくる。

1533年発行の原論の表紙。

同、三平方の定理のページ。

第11巻の冒頭に定義がいくつか出てくる。それを参考にして、以下に定義を列挙しよう。

【定義】 $l$ が平面 $\alpha$ 上にある任意の直線 $l'$ と垂直のとき、直線 $l$ は平面 $\alpha$ に垂直である ($l \bot \alpha$) と言う。

【定義】 2平面 $\alpha, \beta$ のなす角 $\theta$ とは、2平面の交線を $l$ とし、$\alpha$ 上にあって $l$ と垂直な直線 $l_{\alpha}$ と $\beta$ 上にあって $l$ と垂直な直線 $l_{\beta}$ のなす角のことである。ただし、角は $\theta$ とその補角 $180^{\circ}-\theta$ の2つできるので、ふつうは鋭角(または直角)の方を採用する。

【定義】 直線 $l$ と平面 $\alpha$ のなす角とは、2者の交点を $A$ とは異なる $l$ 上の点を $B$, $B$ から平面 $\alpha$ に下した垂線の足を $H$ をするときの $\angle BAH$ またはその補角のことである。