【証明】 図中劣弧$\stackrel{\frown}{AB} $と接線とのなす角は$\angle BAT$である。円の接線$AT$と直径$AC$は直交し、直径を見込む円周角$\angle ABC$は直角だから
$\angle BAT=90^{\circ}-\angle BAC=\angle ACB$
最右辺は劣弧を見込む円周角であるので証明が終わる。一方、優弧$\stackrel{\frown}{ACB} $の場合は、前講の系から、(優弧の円周角)$=180^{\circ}-$(劣弧の円周角) で、劣弧の円周角は$\angle BAT$に等しいから
(優弧の円周角)$=180^{\circ}-\angle BAT=\angle BAT'$■
接弦定理の応用として、方べきの定理を証明してみよう。
【定理】 （方べきの定理1） 弦$AB$の延長上に点$P$を取り、この点を通る接線$PT$を引く。このとき、
$PA \cdot PB=PT^2$ ---
【証明】 接弦定理により、$\triangle PAT, \triangle PTB$は相似だから
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(図の上にマウスを置くとヒントが出ます。)
$PA:PT=PT:PB$,
$PA \cdot PB=PT^2$ ■
【定理】 （方べきの定理2） 円外の点Pを通って、円と2点で交わる直線を2本引く。この2直線がそれぞれ弦$AB, CD$と重なるとき、
$PA \cdot PB=PC \cdot PD$ ---
【証明】 前定理より