【第1-2節】 円の性質(書きかけ)

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【第01講】 円周角の定理

【第02講】 接弦定理

【第03講】 方べきの定理

【第01講】 円周角の定理

【定理】 （円周角の定理） 円周角は中心角の半分である。---

【証明】(1) 下図の場合。三角形の外角は内対角の和に等しく、二等辺三角形の底角が等しいので、

$\angle AOB=\angle OAC+\angle OCA=2 \angle ACB$

(2) 円周角の中に中心角がスッポリ入っている場合、下図のように$CO$の延長と円との交点を$C'$とすれば、（1）で述べたように

$\angle AOC'=2 \angle ACC'$,
$\angle BOC'=2 \angle BCC'$
を辺々足して
$\angle AOB=2 \angle ACB$

(3) 円周角が中心角からはみ出してしまう場合、下図のように$CO$の延長と円との交点を$C'$とすれば、（1）で述べたように

$\angle AOC'=2 \angle ACC'$,
$\angle BOC'=2 \angle BCC'$
を辺々引いて
$\angle AOB=2 \angle ACB$■

【定理】 (円周角の定理の逆) 点$C$が円弧$\stackrel{\frown}{AB} $を見込む角$\angle ACB$が中心角$AOB$の半分なら、点$C$は円$O$上にある。---

【証明】 $C$が円周上にないと仮定する。

直線$AC$と円との交点のうち、$A$ではない方を$C'$とする。

$\angle AC'B$は円周角だから、前定理により中心角の半分になる。ところが$C$は円の内部（青）か外部（赤）にあると仮定したから、$\angle ACB$はだから、$\angle ACB$は$\angle AC'B$より大きいか小さい。これでは中心角の半分にならないから矛盾。■

【系】 半円を見込む円周角は直角である。---

【証明】 半円に対応する中心角は平角（180度）だから、その半分で直角。■

【系】 優弧と劣弧の各々の円周角は互いに補角（和が180度）である。---

【証明】優弧と劣弧の各々の中心角の和は360度だから、円周角の和はそれの半分の180度である。■

【第02講】 接弦定理

円の接線と弦とのなす角が円周角に等しいというのが、接弦定理である。

【定理】 （接弦定理） 円弧$\stackrel{\frown}{AB} $に属する弦$AB$と点$A$における接線$AT$とのなす角のうち、弧が含まれる方の角は弧を見込む円周角に等しい。---

【証明】 図中劣弧$\stackrel{\frown}{AB} $と接線とのなす角は$\angle BAT$である。円の接線$AT$と直径$AC$は直交し、直径を見込む円周角$\angle ABC$は直角だから

$\angle BAT=90^{\circ}-\angle BAC=\angle ACB$

最右辺は劣弧を見込む円周角であるので証明が終わる。一方、優弧$\stackrel{\frown}{ACB} $の場合は、前講の系から、(優弧の円周角)$=180^{\circ}-$(劣弧の円周角) で、劣弧の円周角は$\angle BAT$に等しいから

(優弧の円周角)$=180^{\circ}-\angle BAT=\angle BAT'$■

【第03講】 方べきの定理

接弦定理の応用として、方べきの定理を証明してみよう。

【定理】 （方べきの定理1） 弦$AB$の延長上に点$P$を取り、この点を通る接線$PT$を引く。このとき、

$PA \cdot PB=PT^2$ ---

【証明】 接弦定理により、$\triangle PAT, \triangle PTB$は相似だから

←(図の上にマウスを置くとヒントが出ます。)
$PA:PT=PT:PB$,
$PA \cdot PB=PT^2$ ■

【定理】 （方べきの定理2） 円外の点Pを通って、円と2点で交わる直線を2本引く。この2直線がそれぞれ弦$AB, CD$と重なるとき、

$PA \cdot PB=PC \cdot PD$ ---

【証明】 前定理より

←(図の上にマウスを置くとヒントが出ます。)
$PA \cdot PB=PT^2, PC \cdot PD=PT^2$だから
$PA \cdot PB=PC \cdot PD$ ■

【定理】 （方べきの定理3） 2つの弦$AB, CD$ が交わるとする。交点を$P$とすれば

$PA \cdot PB=PC \cdot PD$ ---

【証明】 円周角の定理より、$\triangle PAC, \triangle PDB$は相似だから

←(図の上にマウスを置くとヒントが出ます。)
$PA:PD=PC:PB$,
$PA \cdot PB=PC \cdot PD$ ■