【第1-2節】 円の性質(書きかけ)[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→
【第1-2節】 円の性質(書きかけ)Copyright (C) virtual_high_school, 2021
【第01講】 円周角の定理
【第02講】 接弦定理
【第03講】 方べきの定理
【定理】 （円周角の定理） 円周角は中心角の半分である。---
【証明】(1) 下図の場合。三角形の外角は内対角の和に等しく、二等辺三角形の底角が等しいので、
$\angle AOB=\angle OAC+\angle OCA=2 \angle ACB$
(2) 円周角の中に中心角がスッポリ入っている場合、下図のように$CO$の延長と円との交点を$C'$とすれば、（1）で述べたように
$\angle AOC'=2 \angle ACC'$,
$\angle BOC'=2 \angle BCC'$
を辺々足して
$\angle AOB=2 \angle ACB$
(3) 円周角が中心角からはみ出してしまう場合、下図のように$CO$の延長と円との交点を$C'$とすれば、（1）で述べたように
$\angle AOC'=2 \angle ACC'$,
$\angle BOC'=2 \angle BCC'$
を辺々引いて
$\angle AOB=2 \angle ACB$■
【定理】 (円周角の定理の逆) 点$C$が円弧$\stackrel{\frown}{AB} $を見込む角$\angle ACB$が中心角$AOB$の半分なら、点$C$は円$O$上にある。---
【証明】 $C$が円周上にないと仮定する。
直線$AC$と円との交点のうち、$A$ではない方を$C'$とする。
$\angle AC'B$は円周角だから、前定理により中心角の半分になる。ところが$C$は円の内部（青）か外部（赤）にあると仮定したから、$\angle
ACB$はだから、$\angle ACB$は$\angle AC'B$より大きいか小さい。これでは中心角の半分にならないから矛盾。■
【系】 半円を見込む円周角は直角である。---
【証明】 半円に対応する中心角は平角（180度）だから、その半分で直角。■
【系】 優弧と劣弧の各々の円周角は互いに補角（和が180度）である。---
【証明】優弧と劣弧の各々の中心角の和は360度だから、円周角の和はそれの半分の180度である。■
円の接線と弦とのなす角が円周角に等しいというのが、接弦定理である。
【定理】 （接弦定理） 円弧$\stackrel{\frown}{AB} $に属する弦$AB$と点$A$における接線$AT$とのなす角のうち、弧が含まれる方の角は弧を見込む円周角に等しい。---
