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【第1-1節】三角形の性質

【第01講】チェバの定理

【第02講】メネラウスの定理

【第03講】重心

【第04講】内心

【第05講】外心

【第06講】平行線定理

【第01講】チェバの定理

チェバの定理には、比＝分数が出てくる。そこで注意。$\frac{a}{b}$は中国式なら「$b$分の$a$」と下から読むが、西欧式なら「$a$ over $b$($a$対$b$)」と上から読む。日本人は両方使えばよい。つまり

$a: b= a \div b=\frac{a}{b}$

なのである。÷の記号がどうやってできたかが分かる。（最左辺が比、最右辺が比の値である。）

【定理】チェバの定理
$\triangle \rm ABC$において、各頂点$\rm A,B,C$と対辺の内部の点$\rm P,Q,R$を結ぶ3直線$\rm AP,BQ,CR$が1点$\rm O$で会するならば、

$\rm \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA}=1$
←パラパラまんが

【証明】2つの三角形の面積の比は高さ(底辺)が共通ならば、底辺(高さ)の比に等しい---という定理を使う。

$\rm AR:RB=\triangle OAC:\triangle OBC$,
$\rm BP:PC=\triangle OAB:\triangle OAC$,
$\rm CQ:QA=\triangle OBC:\triangle OAB$

これら3式の比の値を辺々掛ければ所期の等式を得る。■

この定理の逆が成り立つ。すなわち、

【定理】チェバの定理（逆）
$\triangle \rm ABC$において、各頂点$\rm A,B,C$と対辺の内部の点$\rm P,Q,R$を結ぶ3直線$\rm AP,BQ,CR$について

$\rm \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA}=1$

が成り立つならば、3直線は1点で会する。

【証明】3つの比の値の積が1であるのに1点で会することがないと仮定する。
　　　
上図の青線$\rm AP'$について、点$\rm P'$を線分$\rm BC$上で動かして、$\rm AP$が1点で会するようにする。このとき3つの比の値の積も1になってしまっては、

$\rm \frac{BP}{PC}= \frac{BP'}{P'C}$

となるので、$\rm P=P'$となり仮定に反する。■

チェバの定理の拡張を考える。次図のように辺の延長上にある点と結んだ場合には、どういう等式が成り立つだろうか。
　　　←パラパラまんが
たぶん

$\rm \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA}=1$

という等式が成り立つと当たりは付く。(点$\rm R$ は線分を内分ではなく、外分するという) 実際、

$\rm \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA}=\frac{S_{1}+S_{2}}{S_{2}} \cdot \frac{S_{1}}{S_{3}} \cdot \frac{S_{4} }{ S_{3}+S_{4}}$
$=\frac{S_{1}}{S_{2}} \cdot \frac{S_{1}+S_{2}}{ S_{3}+S_{4}} \cdot \frac{S_{4}}{S_{3}}=\frac{AB}{BR} \cdot \frac{RP'}{P'Q} \cdot \frac{QC}{CA}=1$

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