[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る　このページを閉じる探したい言葉はここへ→

【第1-2節】整除法と分数式（書きかけ）

【第01講】多項式の整除法

【第02講】検算の式

【第03講】有理式の演算

【第04講】組立除法(ホーナー)

【第01講】多項式の整除法

多項式とは

$ax^2+bx+c (a,b,c$は実数または複素数$)$

のような形をした式である。$x=10$を代入したら

$a \cdot 10^2+b \cdot 10+c$

で、もし$a,b,c$が0～9の整数なら、10進法で表された整数である。多項式は整数に似るから、整式とも言う。

さて整数の体系は除法については閉じていない。例えば$2 \div 3$ は整数にならない。多項式も同様に除法について閉じていない。例えば$(x+1) \div x=\frac{x+1}{x}$は分数式であって多項式でない。
ところが除法はできなくても、整除法ならできる。それについては小学校で習っている。商と余りを求める演算のことである。あれを真似すれば、多項式の整除法もできる。

【問題】多項式の割り算$(3x^2+2x+3)\div(x+3)$を行え。---

【解】小学校では整除法を筆算で行った（下図・左）。それを真似して、多項式の整除法を実行すればよい。

したがって

$(3x^2+2x+3)\div(x+3)=3x+2 \cdots 5$ …（答）

注意。いま商の$3x$を同じ次数の$8x$の真上に書いた(日本式)が、最高次の$3x^2$の真上に書く流儀(欧米式)もある。当然、商を書く場所がすべてずれていく。

【定理】多項式$f(x)$を$g(x)$で割ると

$f(x) \div g(x)=q(x) \cdot r(x)$
ただし商$q(x)$の次数は$f(x)$の次数$-g(x)$の次数である。余り$r(x)$は0になる(割り切れると言う)か、さもなくばその次数$deg(r)$は$0 \leq deg(r) <deg(g)$すなわち除数$g(x)$の次数未満になる。

次数0の多項式とは定数のことである。
0という多項式の次数は考えない（または$-\infty$とする）。
注意。上において、$g(x)$は0であってはならない。$0 \leq deg(r) <deg(g)=-\infty$とできないからである。整除法においてもゼロ割禁止だ。
注意2。上の問題では$x+2$で割ったが、もし$x=-2$だったら0で割ることになって、不都合ではないかと思う人がいる。代入して0になっても気にしなくてよいのであって、$g(x)$が多項式として0でなければよいのである。（「$g(x)$は恒等的に0」ではないと言ったりする。）多項式という抽象的な世界で割り算をしているので$x$に何かを代入するということは想定していないのである。