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【第1-2節】 整除法と分数式(書きかけ)

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【第01講】 多項式の整除法
【第02講】 検算の式
【第03講】 有理式の演算
【第04講】 組立除法(ホーナー)

【第01講】 多項式の整除法

多項式とは

$ax^2+bx+c (a,b,c$は実数または複素数$)$

のような形をした式である。$x=10$を代入したら

$a \cdot 10^2+b \cdot 10+c$

で、もし$a,b,c$が0〜9の整数なら、10進法で表された整数である。多項式は整数に似るから、整式とも言う。

さて整数の体系は除法については閉じていない。例えば$2 \div 3$ は整数にならない。多項式も同様に除法について閉じていない。例えば$(x+1) \div x=\frac{x+1}{x}$は分数式であって多項式でない。
ところが除法はできなくても、整除法ならできる。それについては小学校で習っている。商と余りを求める演算のことである。あれを真似すれば、多項式の整除法もできる。

【問題】 多項式の割り算$(3x^2+2x+3)\div(x+3)$を行え。---

【解】 小学校では整除法を筆算で行った(下図・左)。それを真似して、多項式の整除法を実行すればよい。

したがって

$(3x^2+2x+3)\div(x+3)=3x+2 \cdots 5$ …(答)

注意。いま商の$3x$を同じ次数の$8x$の真上に書いた(日本式)が、最高次の$3x^2$の真上に書く流儀(欧米式)もある。当然、商を書く場所がすべてずれていく。

【定理】 多項式$f(x)$を$g(x)$で割ると

$f(x) \div g(x)=q(x) \cdot r(x)$
ただし商$q(x)$の次数は$f(x)$の次数$-g(x)$の次数である。余り$r(x)$は0になる(割り切れると言う)か、さもなくばその次数$deg(r)$は$0 \leq deg(r) <deg(g)$すなわち除数$g(x)$の次数未満になる。

次数0の多項式とは定数のことである。
0という多項式の次数は考えない(または$-\infty$とする)。
注意。上において、$g(x)$は0であってはならない。$0 \leq deg(r) <deg(g)=-\infty$とできないからである。整除法においてもゼロ割禁止だ。
注意2。上の問題では$x+2$で割ったが、もし$x=-2$だったら0で割ることになって、不都合ではないかと思う人がいる。代入して0になっても気にしなくてよいのであって、$g(x)$が多項式として0でなければよいのである。(「$g(x)$は恒等的に0」ではないと言ったりする。)多項式という抽象的な世界で割り算をしているので$x$に何かを代入するということは想定していないのである。
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【第02講】 検算の式

整除法

被除数÷除数=商 … 余り

の検算の式というものを小学校で学習した。すなわち

被除数=除数×商+余り

である。

【問題】 $x^2-2x-1$で割ったら、商が$2x-3$で、余りが$-2x$になった。どんな整式を割ったのか。---

【解】 検算の式より

被除数$=(x^2-2x-1)(2x-3)+(-2x)$

だから、右辺を計算すればよい。暗算でも筆算でもあるいは下図のように直積表(面積図、田の字)でもできる。このように余りがあるときは、$3 \times 2$の長方形の右側(3列目)にはみ出し田んぼができる。

パラパラまんが
答は四角の中の式をすべて合計して、$2x^3-7x^2+2x+3$ …(答)

【別解】 割り算の覆面算と考えて下図のようにやる。ただ計算が間違いやすい。

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