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答は$(x+2y+3)(x+y-2)$

試行錯誤でやるのだが慣れると手早くできるようになる。数独（ナンバープレイス）より面白いと言ってはまってしまう生徒も少なくない。

【別解】 文字が2つだから厄介なのだから、文字は1種類だけと考える。これを1文字に着目する、と言う。$x$に着目して降べきの順に整理すると

$x^2+ (3xy+x)+(2y^2-y-6)$
になって、定数項$(2y^2-y-6)$を因数分解した後、全体(青色囲みの部分）を因数分解する。

ところで今の問題だが、非同次2次式だったが、定数項に$z$を掛けて、$x^2+3xy+2y^2+zx-yz-6z^2$ と同次2次式に変えた方が問題は易しくなるという説がある。ただ、項の配列はふつう

$x^2+2y^2-6z^2+3xy-yz+zx$

のように、2乗の項を優先し、そのあとは輪環の順に並べる。3変数の同次2次式に関して基本的な公式は次の等式である。

【公式】 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ ---

【証明】 下の田の字を描いて、分かる。

【別証明】 先の「1文字着目」というやり方もあるのだが、次のようにやろう。

$(a+b+c)(a+b+c)$

を展開して出てくる項は3文字から2文字を重複を許して選ぶ方法の数、すなわち$_{3}H_{2}=_{4}C_{2}=6$ だけある。しかも展開すべき式は$a,b,c$について対称（文字を交換しても式は変わらない）である。
まず、$a^2$の項は2つの括弧からいずれも$a$を取る1通りの方法しかないから、係数は1. 文字を交換しても同様だから

$a^2+b^2+c^2$

が出てくる。次に$ab$の項は、第1括弧と第2括弧からそれぞれ$a,b$と取るか、$b,a$と取るかの2通りだから係数は2. 文字を交換しても同様だから

$2ab+2bc+2ca$

これで6項全部出揃ったから答は $ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

【問題】 $a+b+c=0$, $a^2+b^2+c^2=2$ のとき $a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2$ の値を求めよ。（2010自治医大）---

【解】 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ より$0=2+2(ab+bc+ca)$だから
$ab+bc+ca=-1$
これを2乗して
$a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2+2(a^2bc+ab^2c+abc^2)=1$
よって
$a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2=1-2abc(a+b+c)=1$ …（答）

文字交換の考えを使って計算する問題を練習してみよう。

【問題】 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。---

【解】 1次同次式×2次同次式＝3次同次式、で3次の項の代表例は $a^3,a^2b,abc$(これ以外は文字交換すればよい)であり、$_{3}H_{3}=_{5}C_{3}=10$ 項ある。第1括弧と第2括弧から何を取るかを考えればよいから、

$a^3=a \times a^2$ しかありえず、係数は1.
$a^2b$は、$a \times (-ab)$と$b \times a^2$ の2つあるが、消えてしまう(キャンセルされる)。係数は0.
$abc$は、$a \times (-bc)$と$b \times (-ca)$と$c \times (-ab)$ の3つあるから、係数は3つ合わせて$-3$.

あとは文字交換して

与式$=a^3 + b^3 + c^3- 3 a b c$ …（答）

この結果を逆に使えば、因数分解の公式：$a^3 + b^3 + c^3- 3 a b c=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ が出来上がる。オイラーは少年時代にこの公式を発見した。

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