【第1-3節】 展開と因数分解(書きかけ)

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【第01講】 多項式の加減

【第02講】 たすき掛け

【第03講】 変数が増えたら

【第01講】 多項式の加減

これより式の計算を行うのだが、式とは

$ax^3+b^2+cx+d$

のような多項式（整式とも言う）のことで、これは加法、減法、乗法について閉じている。
そこで初めに加減を扱おう。

【問題】 $A=4x^2+2x-5, B=3x^2-x+1$ のとき $2A-5B$ を求めよ。

【解】 $5A$は積とも考えられるが、「定数倍」でもあるから$5A=A+A+A+A+A$と考えればむしろ和に近い。そもそも$5A$ は英語の five Apples が $5A$ になったのだろう。日本語だと林檎5個だから、$A5$ になるはず、数学は英語仕様なのだ。（「5個の林檎」は直訳で本来の日本語ではない。）

定数倍は暗算で出して、あとは筆算でやる。これが一番間違いの少ない方法だと思う。

空間内のベクトル $\vec{v}$ は基本ベクトル $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を使って、$\vec{v}= a \vec{i}+b \vec{j}+c\vec{k}$ と表せて、次のように加減ができる。

$\vec{v} \pm \vec{w}= (a \vec{i}+b \vec{j}+c\vec{k}) \pm ( a' \vec{i}+b' \vec{j}+c' \vec{k})$
$=( a\pm a')\vec{i}+(b \pm b')\vec{j}+(c \pm c')\vec{k}$

多項式もまったく同様で

$(a x^2+b x+c) \pm ( a' x^2+b' x+c' )=( a\pm a')x^2+(b \pm b')x+(c \pm c')$

であるので、$1,x,x^2,x^3,\cdots$は基本ベクトルなのである。

【第02講】 たすき掛け

多項式がベクトルと違うところは、乗法ができることだ。（内積は乗法ではない。）
最も簡単な乗法は、(定数)×(１次式)だが、これは前講でやった。
次に易しいのは、(１次式)×(１次式)だ。

【問題】 $(4x+5)(2x-3)$ を展開せよ。---

【解】 下のように筆算でやると間違えない。

（答） $8x^2-2x-15$

この筆算を逆に使うと、たすき掛けによる因数分解ができる。（下図）

2次3項式の因数分解の問題は簡単に作れる。答の$(ax+b)(cx+d)$を考えておいて、これを展開した式を「因数分解せよ」と言って出題すればよいのだ。これを生徒同士でやってみると、うまく因数分解できない問題に出くわす。

【問題】 $16x^2-36x+18$ を因数分解せよ。---

【解】 ある生徒は $(8x-6)(2x-3)$ と言い、別の生徒は $(4x-3)(4x-6)$ だと言う。展開してみるとどちらも合っている。どう考えればよいのだろうか。
整数の場合を考えてみる。$-6$ を(素)因数分解すると、$-6=(-1) \times 2 \times 3$ が正解なら、$(-1) \times (-1) \times (-1) \times 2 \times 3$ だって正解だ。つまり$-1$ のような数は1個でも3個でもこだわらないのだ。整数の世界では$1$ と $-1$ のことを単元（単数）と言って、見て見ぬ振りをするのである。単元とは$a \times b=1$ となる数$a$ のことである。有理数（または実数、複素数）を係数とする多項式の世界で単元とは、定数のことである。例えば $2 \times \frac{1}{2}=1$ だから$2$は ($\frac{1}{2}$も)単元である。しかるに $x \times \frac{1}{x}=1$で$\frac{1}{x}$は多項式でないから$x$は単元ではない。

くだんの2人の生徒は

$(8x-6)(2x-3)=2(4x-3)(2x-3)$,
$(4x-3)(4x-6)=2(4x-3)(2x-3)$

とすれば両者の答は一致するのだが、$2$は単元だから無視してよく、そうすると2人の2様の答は両方とも正解だったのである。

というのは、有理数を係数とする多項式の世界でのことであって、整数を係数とする多項式の世界では$2$は単元ではないから

$2(4x-3)(2x-3)$

としなければならない。

結論。$16x^2-36x+18$ のように定数が括り出せる因数分解の問題は高校では扱わないという暗黙のルールがあるのである。

【問題】 次の多項式を因数分解せよ。---
(1) $6a+12b$
(2) $6ac+7bc$

【解】 (1) 甲：$2 \cdot 3(a+2b)$ か、乙：6も12も単元だから因数分解できない、のどっちも正解になるのでこういう問題は出さない決まり。($6(a+2b)$はどっちの解釈に立っても間違い。）
(2) 正解は $c(6a+7b)$ しかない。（$-c(-6a-7b)$もあるじゃないかと思った人、それは先の正解と同一のものと考えます。これを×にする先生はまさかいないですよね。）

蛇足。$x^2$ を $xx$ と書いたら×にする先生もいないですよね。（それなら $\vec{a} \cdot \vec{a}$ も $\vec{a}^2$ と書かないと×ですか？）　ガウスの整数論をチラ見すれば、この表記がいっぱい出ています。19世紀初頭では$(\mbox{　})^2$は使われていなかったのでしょう。

たすき掛けを使って、中学校で学習した因数分解の問題を解くことができる。

【問題】 次の多項式を因数分解せよ。---
(1) $a^2+2ab+b^2$
(2) $a^2-b^2$
(3) $a^2+ab$

【解】 もちろん (1) $(a+b)^2$, (2) $(a+b)(a-b)$, (3) $a(a+b)$ だが、下図のように実行することもできる。（実際にはたすき掛けでなく、公式だとしてやる方が早い。たすき掛けの汎用性を確認したかっただけの話。）

【第03講】 変数が増えたら

変数が$x$だけでなく$x,y$に増えた場合の因数分解を考えてみよう。

【問題】 $2x^2-5xy-12y^2$ を因数分解せよ。---

【解】 変数が増えたとは言え、相変わらず2次3項式だから、下図のようにたすき掛けして、答は$(2x+3y)(x-4y)$

注意。文字$x,y$を省略して数値だけでやるやり方があるが、ともすると$y$を書き忘れるので上図のように文字込みでやる方が安全。
コツ。上図で$2x$ の右隣には$3y$がある。この場所にはけっして$\pm 2y$や$\pm 4y$は来ない。もし来たら与式が$2$で括り出せるからで、真横に同じ倍数（今の場合は2の倍数）の係数は来ないのである。このコツを知っていると計算時間が約半分にできる。

上記の問題は2次3項式だから前講で扱ったのと同列で、たいしたことはない。
問題になるのは因数分解して$(ax+by+c)(a'x+b'y+c')$や$(ax+by+c)(a'x+b'y+c')$になるタイプである。後者は同次1次式（定数項なしの1次のみの多項式）の積である。一般に後者の方が易しいと言われている。

【問題】 $x^2+3xy+2y^2+x-y-6$ を因数分解せよ。---

【解】 2次6項式ともなると、$2 \times 2$ではなく$3 \times 3$の直積表(田の字とも言う)を描かないとダメ。下図の通り。

答は$(x+2y+3)(x+y-2)$

試行錯誤でやるのだが慣れると手早くできるようになる。数独（ナンバープレイス）より面白いと言ってはまってしまう生徒も少なくない。

【別解】 文字が2つだから厄介なのだから、文字は1種類だけと考える。これを1文字に着目する、と言う。$x$に着目して降べきの順に整理すると

$x^2+ (3xy+x)+(2y^2-y-6)$
になって、定数項$(2y^2-y-6)$を因数分解した後、全体(青色囲みの部分）を因数分解する。

ところで今の問題だが、非同次2次式だったが、定数項に$z$を掛けて、$x^2+3xy+2y^2+zx-yz-6z^2$ と同次2次式に変えた方が問題は易しくなるという説がある。ただ、項の配列はふつう

$x^2+2y^2-6z^2+3xy-yz+zx$

のように、2乗の項を優先し、そのあとは輪環の順に並べる。3変数の同次2次式に関して基本的な公式は次の等式である。

【公式】 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ ---

【証明】 下の田の字を描いて、分かる。

【別証明】 先の「1文字着目」というやり方もあるのだが、次のようにやろう。

$(a+b+c)(a+b+c)$

を展開して出てくる項は3文字から2文字を重複を許して選ぶ方法の数、すなわち$_{3}H_{2}=_{4}C_{2}=6$ だけある。しかも展開すべき式は$a,b,c$について対称（文字を交換しても式は変わらない）である。
まず、$a^2$の項は2つの括弧からいずれも$a$を取る1通りの方法しかないから、係数は1. 文字を交換しても同様だから

$a^2+b^2+c^2$

が出てくる。次に$ab$の項は、第1括弧と第2括弧からそれぞれ$a,b$と取るか、$b,a$と取るかの2通りだから係数は2. 文字を交換しても同様だから

$2ab+2bc+2ca$

これで6項全部出揃ったから答は $ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

【問題】 $a+b+c=0$, $a^2+b^2+c^2=2$ のとき $a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2$ の値を求めよ。（2010自治医大）---

【解】 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ より$0=2+2(ab+bc+ca)$だから
$ab+bc+ca=-1$
これを2乗して
$a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2+2(a^2bc+ab^2c+abc^2)=1$
よって
$a^2b^2+b^2c^2+c^2+a^2=1-2abc(a+b+c)=1$ …（答）

文字交換の考えを使って計算する問題を練習してみよう。

【問題】 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を展開せよ。---

【解】 1次同次式×2次同次式＝3次同次式、で3次の項の代表例は $a^3,a^2b,abc$(これ以外は文字交換すればよい)であり、$_{3}H_{3}=_{5}C_{3}=10$ 項ある。第1括弧と第2括弧から何を取るかを考えればよいから、

$a^3=a \times a^2$ しかありえず、係数は1.
$a^2b$は、$a \times (-ab)$と$b \times a^2$ の2つあるが、消えてしまう(キャンセルされる)。係数は0.
$abc$は、$a \times (-bc)$と$b \times (-ca)$と$c \times (-ab)$ の3つあるから、係数は3つ合わせて$-3$.

あとは文字交換して

与式$=a^3 + b^3 + c^3- 3 a b c$ …（答）

この結果を逆に使えば、因数分解の公式：$a^3 + b^3 + c^3- 3 a b c=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ が出来上がる。オイラーは少年時代にこの公式を発見した。