【発展的内容】その理屈は割り算でお尻に0をドンドンくっつけていくわけだから、$10^n,n=1,2,3,\cdots$が順不同で$\equiv 1,2,3, \cdots, p-1(mod.p)$のすべてを亘ればよいのである。このことを$10$が$mod.p$で原始根になっていると言う。具体的にやってみると
[1/7の場合]
$10 \equiv 3(mod.7), 10^2 \equiv 9 \equiv 2, 10^3 \equiv 6, 10^4 \equiv 18 \equiv 4, 10^5 \equiv 12 \equiv 5, 10^6 \equiv 15 \equiv 1$
なんてことはない、さっきの割り算で余りだけを計算しているだけだ。
[1/11の場合]
$10 \equiv 10(mod.11), 10^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1$
案の定、2回で終わってしまった。
[1/17の場合] $10 \equiv 10(mod.17), 10^2 \equiv (-7)^2 \equiv 49 \equiv 15, 10^3 \equiv -20 \equiv 14, 10^4 \equiv 140 \equiv 4, 10^5 \equiv 40 \equiv 6, 10^6 \equiv 60 \equiv 9,10^7 \equiv 90 \equiv 5,10^8 \equiv 50 \equiv 16,10^9 \equiv -10 \equiv 7, 10^{10} \equiv 70 \equiv 2, 10^{11} \equiv 20 \equiv 3, 10^{12} \equiv 30 \equiv 13, 10^{13} \equiv -40 \equiv 11, 10^{14}\equiv -60 \equiv 8,10^{15} \equiv 80 \equiv 12, 10^{16} \equiv -50 \equiv 1$
Excelで計算したのが下表である。循環節の長さはめいっぱいの16である。
（数式）
171102=MOD(C1*10,$A$1)3=MOD(C2*10,$A$1)4=MOD(C3*10,$A$1)5=MOD(C4*10,$A$1)6=MOD(C5*10,$A$1)7=MOD(C6*10,$A$1)8=MOD(C7*10,$A$1)9=MOD(C8*10,$A$1)10=MOD(C9*10,$A$1)11=MOD(C10*10,$A$1)12=MOD(C11*10,$A$1)13=MOD(C12*10,$A$1)14=MOD(C13*10,$A$1)15=MOD(C14*10,$A$1)16=MOD(C15*10,$A$1)17=MOD(C16*10,$A$1)18=MOD(C17*10,$A$1)19=MOD(C18*10,$A$1)20=MOD(C19*10,$A$1) （計算結果）
171102153144456697581697102113121313111481512161171018151914204
このように、既約分数の分母が2,5以外の素因子を含むと、有限小数にはならずに循環小数になる。
次は、循環小数を分数に直す問題だ。
【問題】$1.232323\cdots$を分数にせよ。---
【解】$x=1.232323\cdots$とおき、$100x=123.232323\cdots$から辺々引くと、
$99x=122$ よって $x=\frac{122}{99}$
【問題】$0.999\cdots$を分数にせよ。---
【解】$x=0.999\cdots$とおき、$10x=9.999\cdots$から辺々引くと、
$9x=9$ よって $x=\frac{9}{9}=1$
2問目は結果が意外だから信じがたいかもしれないが、
とすれば、たしかにそうなっている。そうすると、他の有限小数も同様であって
だから、$\frac{3}{5}=0.6=0.5999\cdots$が分かる。つまり、すべての有限小数は循環小数にすることができる。逆の循環小数を直す問題になると、有限小数になるものとそうでないものに分かれる。
[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→