今度は
$y=3^{x}$
でやってみると
$y'=B \cdot 3^{x}$
で $B>1$ のようである。どうやら、２と３の間に
$y=e^{x} \Rightarrow y'＝e^{x}$
と余計な係数が出てこない $e$ なる値が存在しそうだ。実際このような $e$ が存在する。
$y'(0)=1$ だから
$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h} =1$
となる $e$ が存在するのである。
$y=e^{x}$ を微分すると
$\frac{e^{x+h} - e^{x}}{h} = \frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}$
で $y'=e^{x}$ が導き出される。
これが分かれば、逆関数の
$y=\log x$
の方は、
$e^{y}=x$
の両辺を微分して
$e^{y} y' =1$
と合成関数の微分法を使う。そして
$y'=\frac{1}{e^{y} }＝\frac{１}{x}$
となる。
合成関数の微分法はチェーン・ルールと呼ばれる。微分の公式の中で最も頻繁に使われるものであろう。
