$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2axh+ah^{2}+bh} {h} = 2ax+ah+b $
$h=0$ を代入して
$y'=2ax+b$■
（問） 3次関数 $y=x^{3}$ を微分してみよう。
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}} {h} = 3x^{2}+3xh+h^{2} $
$h=0$ を代入して
$y'=3x^{2}$■
$(x+h)^{3}$ は、公式を忘れても $x+h$ を３個掛け合わせれば求まる。
上の結果から
$y=ax^{3}+bx^{2} +cx +d$
だと
$y'=3ax^{2}+2bx+c$
となることが予想できるね。
つまり、$ax^{3}$ なら指数の３が前に落ちてきて $a$ とのかけ算になり、$bx^{2}$ なら指数の２が前に落ちてきて $b$ とのかけ算になる。$cx$ は係数だけの $c$ になり、定数項 $d$ は消える。
曲線 $y=x^{3}$ の原点における接線の傾きは $y'(0)=0$ だから、そのグラフは下図の左側ではなく、右側のようになる。
次に、曲線 $y=x^{3}$ 上の点 $(1,1)$ における接線を求めよう。その傾きは
$y'(1) = 3 \times 1^{2} =3$
であるので、接線の方程式は
$y=3x+b$
とおける。$(1,1)$ を通ることから
$1=3+b$
$b=-2$
接線は
$y=3x-2$