$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4xh+2h^{2}+8h} {h} = 4x+2h+8 $
この傾き$\frac{\Delta y}{\Delta x} $は、放物線上の２点を結んだ直線の傾きを意味する。この直線を割線という。接線は放物線と１点で交わる直線だから、$h=0$ にすればよい。
上の2次関数の導関数を求めると、
$y'=4x+8$
になる。
$x=2$における接線の傾きは、$y'$の式に$x=2$を代入して
$y'(2)=16$
である。■
$x=-2$ だと
$y'(-2)=0$
だから、ここが放物線の頂点になる。$y$切片が4ということと、左右対称になることと抱き合わせて考えるとグラフは図のようになる。
微分の法則性を考えてみよう。
$y=x^{2}$ だと $y'=2x$
$y=-5x^{2}+30x+20 \Rightarrow y'=-10x+30$
$y=2x^{2}+8x+4 \Rightarrow y'=4x+8$
(問) これらの結果から
$y=ax^{2}+bx+c \Rightarrow y'=2ax+b$
になることが予想される。それを証明してみよう。
（証明）