$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4h+h^{2}} {h} = 4+h $
瞬間の時間幅$h$は$0$［秒］であることが理想だから、ここで $h=0$ を代入して
$y'(2) =4 [cm/\mbox{秒}]$■
これが $x=2$ における瞬間速度だ。精度の高い近似値というのではなく、正確にまさに４［cm／秒］になるのだ。$y'$は瞬間速度のことで、$y'(2)$ は$x=2$［秒］のときの瞬間速度を表す。
練習として、
(問) $x=3$［秒］のときの瞬間速度を求めてみよ。
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6h+h^{2}} {h} = 6+h $
$h=0$を代入して
$y'(3) =6$■
【３ 導関数】
(問) 時刻$x$［秒］における瞬間速度を求めよう。
$x$［秒］のときの位置 $y$ は、$y=x^{2}$ の $x$ のところに $x$ を代入すればよいのだから、……
Ｓ「$x^{4}$」
$x$ に $x$ を代入するということは、$x$ をいったん消しゴムで消して、その空いたところに $x$ を代入するのだから
$x^{2}$
となる。代入する前の式と変わらない。消しゴムで消さないで $x$ の隣りに $x$ を代入したりすると $x^{4}$ になってしまう。
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2xh+h^{2}} {h} = 2x+h $
$h=0$ を代入して
$y'=2x [cm/\mbox{秒]}$■
物体の移動距離と瞬間速度をまとめた表を作ると次のようになる。