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微分入門

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【1 平均速度】
斜面上を物体が落ちていくという運動を解析してみよう。
落ち始めてからの時間が$x$[秒]のとき、物体の位置は出発点から測って$y$[cm]だとするね。
そのとき
   $y=x^{2}$
という関係式が成り立つとするよ。これを図にしてみると下のようになるね。

だんだん落ち方が速くなっていることが分かる。落下運動では加速がつくからだ。
図と同じことを表で表してみよう。

この物体の速度を求めてみよう。$x=3$[秒]のとき $y=9$[cm]だから、……
S「キハジの公式!」
S「速さは距離/時間」
   $9$[cm]/$3$[秒]=$3$[cm/秒]
これを$x=0$[秒]から$3$[秒]までの間の平均速度という。
速度は初めは遅く、あとにいくほど速くなる。遅い部分と速い部分をならして測っているので「平均」速度というわけだ。
次の問題をやってみよう。

(問) $x=0$[秒]から$2$[秒]までの平均速度を求めよ。
(解) $x=2$[秒]のとき$y=4$[cm]だから
   $4$cm/$2$秒=$2$[cm/秒]■

(問) $x=1$[秒]から$3$[秒]までの平均速度はいくらだろう。
S「3cm/秒」
ちょっと待てよ、それは$x=0$[秒]から$3$[秒]までの平均速度じゃないか。$x=1$[秒]から$3$[秒]までの間にどれだけ進んだかな。
S「8cm」
どうしてかな
S「(9−1)cm」
かかった時間は?
S「2秒」
(3−1)秒だね。
 変化の表を書いてみよう。

Δはデルタと読む。ギリシア文字で英語の大文字のDにあたる。差という意味のdifference の頭文字だ。これを増分という。Δxは経過時間、Δyは移動距離を表す。
ΔxとΔyを求めるにはそれぞれ右側のx,yの値から左側のx,yの値を引き算すればよい。
$x=1$[秒]から$3$[秒]までの平均速度は
   $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{8}{2} =4 [cm/\mbox{秒}]$
となる。■

(問) x=4[秒]から6[秒]までの平均速度を求めてみよう。

   $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{20}{2} =10 [cm/\mbox{秒}]$■
同じ2秒間でも後になるほど大きい、つまり加速がついている。

では次に1秒ごとに、1秒間の平均速度を求めることにしよう。すなわち
x=0〜1の平均速度
x=1〜2の平均速度
x=2〜3の平均速度
……………………
を求めるのだ。
いずれもΔx=1だから簡単に求まって
x=0〜1の平均速度=1cm/秒
x=1〜2の平均速度=3cm/秒
x=2〜3の平均速度=5cm/秒
x=3〜4の平均速度=7cm/秒
x=4〜5の平均速度=9cm/秒
……………………
となる。これはなんだ?
S「奇数」
ちょうどこれは階差数列になっている。

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