斜面上を物体が落ちていくという運動を解析してみよう。
落ち始めてからの時間が$x$［秒］のとき、物体の位置は出発点から測って$y$［cm］だとするね。
そのとき
$y=x^{2}$
という関係式が成り立つとするよ。これを図にしてみると下のようになるね。
だんだん落ち方が速くなっていることが分かる。落下運動では加速がつくからだ。
図と同じことを表で表してみよう。
この物体の速度を求めてみよう。$x=3$［秒］のとき $y=9$［cm］だから、……
Ｓ「キハジの公式！」
Ｓ「速さは距離／時間」
$9$［cm］／$3$［秒］＝$3$［cm／秒］
これを$x=0$［秒］から$3$［秒］までの間の平均速度という。
速度は初めは遅く、あとにいくほど速くなる。遅い部分と速い部分をならして測っているので「平均」速度というわけだ。
次の問題をやってみよう。
(問) $x=0$［秒］から$2$［秒］までの平均速度を求めよ。
(解) $x=2$［秒］のとき$y=4$［cm］だから
$4$cm／$2$秒＝$2$［ｃｍ／秒］■
(問) $x=1$［秒］から$3$［秒］までの平均速度はいくらだろう。
S「３cm／秒」
ちょっと待てよ、それは$x=0$［秒］から$3$［秒］までの平均速度じゃないか。$x=1$［秒］から$3$［秒］までの間にどれだけ進んだかな。
S「８ｃｍ」
どうしてかな
S「（９−１）ｃｍ」
かかった時間は？
S「２秒」
（３−１）秒だね。
変化の表を書いてみよう。
Δはデルタと読む。ギリシア文字で英語の大文字のDにあたる。差という意味のdifference の頭文字だ。これを増分という。Δｘは経過時間、Δｙは移動距離を表す。
ΔｘとΔｙを求めるにはそれぞれ右側のｘ，yの値から左側のｘ，yの値を引き算すればよい。
$x=1$［秒］から$3$［秒］までの平均速度は
$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{8}{2} =4 [cm/\mbox{秒}]$
となる。■
（問） ｘ＝４［秒］から６［秒］までの平均速度を求めてみよう。
$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{20}{2} =10 [cm/\mbox{秒}]$■
同じ２秒間でも後になるほど大きい、つまり加速がついている。
では次に１秒ごとに、１秒間の平均速度を求めることにしよう。すなわち
x＝０〜１の平均速度
x＝１〜２の平均速度
x＝２〜３の平均速度
……………………
を求めるのだ。
いずれもΔｘ＝１だから簡単に求まって
x＝０〜１の平均速度＝１ｃｍ／秒
x＝１〜２の平均速度＝３ｃｍ／秒
x＝２〜３の平均速度＝５ｃｍ／秒
x＝３〜４の平均速度＝７ｃｍ／秒
x＝４〜５の平均速度＝９ｃｍ／秒
……………………
となる。これはなんだ？
Ｓ「奇数」
ちょうどこれは階差数列になっている。