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(1) 最初はグー、じゃなくて「最初は1」、これに〇印をつけて最左の商の上に�@と書く。
(2) あとは商の並びに対し「足し算と掛け算」
　　　�@＋3×2＝7
をした結果の 7 に丸印をつけて商の上に�Fと書く。
(3) あとは(2)の繰り返しだが、今の場合は繰り返さずに 1 回で終わってしまう。

39×�F−90×3＝3

【解】

初めは�@,
あとは「足し算と掛け算」を繰り返して、
　　�@＋4×3＝13,
　　4+13×1＝17,
　　13+17×2＝47
と商の上に数を並べていき、

$105\times 17-38\times 47=-1$

$x=-17+38 k$,
$ y=47-105 k$

$105 a+38 b=23$

$105 \times (-17) \times 23+38 \times 47 \times 23 =23$

$a=-391, b＝1081$

$\frac{23}{38 \times 105}=-\frac{391}{38}+\frac{1081}{105}$
$=-(10+\frac{11}{38})+(10+\frac{31}{105})$
$=-\frac{11}{38}+\frac{31}{105}$

$a=-391+38 k $,
$b=1081-105 k$

で、実は答は無数にあるのだ。「仮分数は使わず真分数だけの和差に変形せよ」と制限しておかないと答が絞れない。($k=10$ のときが先の答)

このように部分分数分解の答は1つとは限らぬ。例えば

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$

$\frac{1}{2}(\frac{x}{x-1}-\frac{x+2}{x+1})$

などの分解がある。(もちろん真分数の和差に限定すれば答はユニークになる。)

【問1-3】の部分分数分解をした分数の分母は

$38 \times 105 =(2 \times 19)\times (3 \times 5 \times 7)$

と各素数を高々 1 個しか含まないが、分母に素数または既約多項式(2つひっくるめて素元と言う) のベキが含まれていると

$\frac{1}{x^2(x+1)}=(\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x})+\frac{c}{x+1}$

のようになる($x^2$ の処理に注目)。では分母が $ p^5q^4$ の場合をやってみよう。

【問1-4】 次の分数を部分分数分解せよ。---
　　　$\frac{5}{2^5 \times 3^4}$

【解】 明らかに互いに素 $(2^5, 3^4)＝1$ で、不定方程式の特殊解は下図のように、

$32\times 38-81\times 15=1$

である。 よって左辺を 5 倍して $2^5 \times 3^4$ で割って

$\frac{38 \times 5}{3^4}-\frac{15 \times 5}{2^5}=\frac{190}{3^4}-\frac{75}{2^5}$

$190=21001_{(3)}$,
$75=1001011_{(2)}$

$\frac{190}{3^4}=2.1001_{(3)}$,
$\frac{75}{2^5}=10.01011_{(2)}$

となる。よって、2つの分数はそれぞれ

$\frac{190}{3^4}=2+\frac{1}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^3}+\frac{1}{3^4}=2+\frac{1}{3}+\frac{1}{81}$,
$\frac{75}{2^5}=1\times 2+0+\frac{0}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$

となるので、問題の分数は

$(2+\frac{1}{3}+\frac{1}{81})-(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32})$
$=\frac{1}{3}+\frac{1}{81}-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}-\frac{1}{32}$

§2. パスカルの三角形

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