【授業】 整数の話題から

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§1. 互除法と不定方程式の特殊解

§2. パスカルの三角形

§3. 合同式における乗除

§4. 循環小数

§1. 互除法と不定方程式の特殊解

【解】

　→　　

　(1) 横 90 を縦 39 で測りきったときの余りが 12
　(2) 縦 39 を横の余り 12 で測ったときの余りが 3
　(3) 横 12 を縦の余り 3 だと測りきれる (余り 0 )
と、縦・横で互い違いに割っていけば、 90 × 39 の長方形を敷き詰める最大の正方形の辺の長さとして GCM =3 が得られる。(ユークリッドの互除法)

【答】 $(90,39)=3$

　→　

$90 x+39 y=3$

　→　
(1) 最初はグー、じゃなくて「最初は1」、これに〇印をつけて最左の商の上に�@と書く。
(2) あとは商の並びに対し「足し算と掛け算」
　　　�@＋3×2＝7
をした結果の 7 に丸印をつけて商の上に�Fと書く。
(3) あとは(2)の繰り返しだが、今の場合は繰り返さずに 1 回で終わってしまう。

39×�F−90×3＝3

【解】

初めは�@,
あとは「足し算と掛け算」を繰り返して、
　　�@＋4×3＝13,
　　4+13×1＝17,
　　13+17×2＝47
と商の上に数を並べていき、

$105\times 17-38\times 47=-1$

$x=-17+38 k$,
$ y=47-105 k$

$105 a+38 b=23$

$105 \times (-17) \times 23+38 \times 47 \times 23 =23$

$a=-391, b＝1081$

$\frac{23}{38 \times 105}=-\frac{391}{38}+\frac{1081}{105}$
$=-(10+\frac{11}{38})+(10+\frac{31}{105})$
$=-\frac{11}{38}+\frac{31}{105}$

$a=-391+38 k $,
$b=1081-105 k$

で、実は答は無数にあるのだ。「仮分数は使わず真分数だけの和差に変形せよ」と制限しておかないと答が絞れない。($k=10$ のときが先の答)

このように部分分数分解の答は1つとは限らぬ。例えば

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$

$\frac{1}{2}(\frac{x}{x-1}-\frac{x+2}{x+1})$

などの分解がある。(もちろん真分数の和差に限定すれば答はユニークになる。)

【問1-3】の部分分数分解をした分数の分母は

$38 \times 105 =(2 \times 19)\times (3 \times 5 \times 7)$

と各素数を高々 1 個しか含まないが、分母に素数または既約多項式(2つひっくるめて素元と言う) のベキが含まれていると

$\frac{1}{x^2(x+1)}=(\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x})+\frac{c}{x+1}$

のようになる($x^2$ の処理に注目)。では分母が $ p^5q^4$ の場合をやってみよう。

【問1-4】 次の分数を部分分数分解せよ。---
　　　$\frac{5}{2^5 \times 3^4}$

【解】 明らかに互いに素 $(2^5, 3^4)＝1$ で、不定方程式の特殊解は下図のように、

$32\times 38-81\times 15=1$

である。 よって左辺を 5 倍して $2^5 \times 3^4$ で割って

$\frac{38 \times 5}{3^4}-\frac{15 \times 5}{2^5}=\frac{190}{3^4}-\frac{75}{2^5}$

$190=21001_{(3)}$,
$75=1001011_{(2)}$

$\frac{190}{3^4}=2.1001_{(3)}$,
$\frac{75}{2^5}=10.01011_{(2)}$

となる。よって、2つの分数はそれぞれ

$\frac{190}{3^4}=2+\frac{1}{3}+\frac{0}{3^2}+\frac{0}{3^3}+\frac{1}{3^4}=2+\frac{1}{3}+\frac{1}{81}$,
$\frac{75}{2^5}=1\times 2+0+\frac{0}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$

となるので、問題の分数は

$(2+\frac{1}{3}+\frac{1}{81})-(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32})$
$=\frac{1}{3}+\frac{1}{81}-\frac{1}{4}-\frac{1}{16}-\frac{1}{32}$

§2. パスカルの三角形

　　　　　　[色塗りパターン]
上のパターンでは、同じ数字のところに同じ色が塗られている。
和の総当たりは $3 \times 3=9$ 通りだが、交換則が成り立つことから $_{3}H_{2}＝6$ 通りの色塗りパターンとした。


　[和の演算表]

§3. 合同式における乗除

$\frac{5}{ 2}＝\frac{5\times 3}{2\times3}=\frac{3}{0}=$？

$7\times 1＝7,  7\times 2＝14＝1, \cdots$

$6 \div7=6\times(1\div 7)=6\times2=12$ (答)

【問3-3】 105 を法とするとき、38 の逆数を求めよ。---

【解】 105 は合成数なのだが、38 と互いに素だから(38 は法 105 の既約剰余類に属すると言う)、逆数を持つ。【問1-2】の(答)より

$38\times 47-105\times 17=1$

$38 \times 47=105\times17+1=1 (mod.105)$

§4. 循環小数

$\frac{1}{2}＝0.4999\cdots$

$x=0.4999\cdots$ とおいて、$10x=4.9999\cdots$ から引いて
$9 x=4.5$
$x=0.5$

【問4-3】 法 11 において、10 は原始根になるか。---

【解】　
　　　$10^1=-1 (mod. 11)$
　　　$10^2=-10=1$
2 乗でもう 1 になってしまう。($10=-1$ だから 2 乗で 1 になるのは当たり前ではある。) 循環節の長さは 2 であって、実際

$\frac{1}{11}=0.090909\cdots$

【問4-4】 法11における原始根を探せ。---

【解】　2 の １ 乗、2 乗、3 乗、…、10 乗を計算すると
　　$2, 4, 8, 5,10, 9, 7, 3, 6, 1$　(＊)
と 0 以外のすべての数を亘るから、2 は原始根だ。(答) 2

ちなみに、(＊)において偶数番目の数 4, 5, 9, 3, 1 を 11 の平方剰余(略して剰余)と呼び、奇数番目の 2, 8, 10, 7, 6 を平方非剰余(非剰余)と呼ぶ。文法的には「非平方剰余」ではないかと思うが、歴史的にこのような術語になったのだろう。

2 以外でも原始根になるかと言うと、必ずしもそうはならず例えば 3 だと(＊)より

$3=2^8, 3^5=2^{40}＝1^4$

原始根を探すには実は Excel を使えば楽勝だ。例えば mod.7 の場合、2〜6 を各々 2 乗、3 乗、… した結果を作ると下表のようになる。

(答) $3,5,6,7,10,11,12,14$

なんと 10 が原始根になっているではないか。
$\frac{1}{17}$ を割り算して小数に直そう。余りは円盤の 10 から始まって 3 個ずつ左回りするから、余りの系列は
　　　$　10,15,14,4,6,9,5,16,7,2,3,13,11,8,12,1$
と進む。商の方を求めると循環小数
　　　$0.0\dot{5}8823529411764\dot{7}$
が得られ、たしかに循環節の長さが $17-1=16$ で最長になる。

原始根が見つかると、円盤が描け、円盤が計算尺となって、乗除の計算が楽にできる。
法17で、例えば $14\times 13$ なら円盤上で 14 から 4 個左回りして、

14→8→7→4→12

で $14\times 13=12$ と分かるし、割り算は逆回転で右回りすればよい。
逆数は共役複素数に対応しており、例えば 10 の逆数は $x$ 軸について対称移動して 12 であると分かる。たしかに $\frac{3}{16}$ 回転と $\frac{13}{16}$ 回転を合わせれば 1 周である。

【蛇足】通常、対数尺を利用して作ったものが計算尺だが、これには物指しタイプと円盤タイプの2種類がある。上述した計算尺は後者のことである。