整除法【Ｑ＆Ａ】

Copyright (C) virtual_high_school, 2016-17

No.01 整除法ってなんですか。

No.10 筆算でやるとどうなりますか。

No.12 組立除法でやるとどうなりますか。

No.20 割り算の答は分数係数でもいいのですか。

No.01 整除法ってなんですか。

小学校で習った割り算には2種類って、
　　　　(1) $7 \div 3 = \frac{7}{3}$ (除法)
　　　　(2) $7 \div 3 = 2 \cdots 1$ (整除法)
である。

　整式の割り算は、後者の整除法(商と余りを求める)に相当するものである。

例題 ( 2x³ - x² -3x + 5 ) ÷ ( x - 1) を行なえ。---

解 田の字でやると、

除数が田んぼの縦の長さ、
被除数が田んぼの面積

である。

商は、田んぼの横の長さであり、
"はみ出し田んぼ"の面積が余り

である。
←パラパラまんが
はみ出し田んぼについては、面積だけを考え、縦・横の長さは考えない。はみ出し田んぼはどこに描いてもよいのだが、同類項が斜めにそろうという原則を通すため、私は図のような場所に描いている。

　田の字を使うと、

( 2x³ - x² -3x + 5 ) ÷ ( x - 1 ) = 2x² + x - 2 … 3

と分かり、しかも

被除数 = 除数 ×商 + 余り,
2x³ -x² -3x + 5 = (x - 1) ( 2x² +x - 2 ) + 3

が見やすい。

No.10 筆算でやるとどうなりますか。

割り算の筆算は小学校で習いました。そのアルゴリズムは

1. (商を) 立てる
2. (商と除数を) 掛ける
3. 引く
4. (一つ下位の桁を) 下ろす →1.に戻る　　

の繰り返しになります。
　　 ←パラパラまんが

No.12 組立除法でやるとどうなりますか。

$\div (x - \alpha)$ の割り算にだけ、組立除法が使えます。そのアルゴリズムは

1. (最高次数の係数を) おろす
2. (3行目の数と$\alpha$を) かける
3. (1行目と2行目を) たす →2.に戻る

の繰り返しになります。
　　 ←パラパラまんが
(注意) $\div (x + \alpha)$ のときは、左端が$\alpha$ でなく $- \alpha$ になります。

No.20 割り算の答は分数係数でもいいのですか。

例えば
$(2x^{2} +4x +2) \div (2x+3) $ は、
　　
より、
$ 2x^{2} +4x +2 = (x+\frac{3}{2}) (2x +1) +\frac{1}{2}$
したがって
$ 2x^{2} +4x +2 = (2x+3) (x +\frac{1}{2}) +\frac{1}{2},$
$(2x^{2} +4x +2) \div (2x+3) =x +\frac{1}{2} \cdots \frac{1}{2}$
となる。

問題は整係数÷整係数であったが、商も余りも整係数でなく有理係数になります。つまり、整係数上では整除法はできないのです。
小学校で習った整数の整除法に対して、高校において対応するものは有理係数上での整除法なのです。けっして整係数上での整除法はありません。(そんなものはないのですが。）