整式の乗法【Ｑ＆Ａ】

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No.30 乗法の筆算が腑に落ちないんですが…
No.40 田の字計算の原理を教えて下さい。
No.60 3×3型の田の字をやって下さい。

No.30乗法の筆算が腑に落ちないんですが…

【3通りの筆算】
筆算の方法には3通りあります。

(日本式)　第２式の下の桁から、上に向けてかけ算をする。
　　　 ←パラパラまんが

(英米式)　第１式の下の桁から、下に向けてかけ算をする。
　　　 ←パラパラまんが

(ドイツ式)　第１式の上の桁から、下に向けてかけ算をする。
　　　 ←パラパラまんが

教科書では、英米式でやっているものが多い。ネタ本が英米のものなのだろうか。
最も合理的なやり方と言われているのはドイツ式で、最悪な方法が日本式と言われている。
とはいえ、小学校以来の習慣で、日本式でないと計算を間違えてしまう。

筆算ではどのやり方でも同類項が縦に一直線にそろうところは共通ですので、そこに注目して下さい。

No.40 田の字計算の原理を教えて下さい。

整式の加法・減法はあまり問題になるところはない。問題は乗法からである。

例題　2x × (-3x²) を計算せよ。---

解 縦の長さが 2x で、横の長さが -3x² の長方形の面積を求めることに相当する。タイルの図を描いて、答は -6x³

日本では、長方形の面積は、縦×横なので、それにあわせた図を描いた。英米では、長方形=横×縦である。
ちなみに、倍の表記等も反対で、日本では"aの3倍(a×3)"とか"りんご3個"だが、英米では "three times a（3×a）" とか"three apples（3a）" だ。

例題 (x + 3) ( 2x + 1) を展開せよ。---

解 タイル図を描いて計算する。田の字に似ているので、"田の字計算"とも呼ぶ。同類項は、斜めに現れる。答は 2x²+7x+3
←パラパラまんが

田の字計算は、複素数の掛け算にも利用できる。
　　　 ←パラパラまんが

演習問題
　　　　←マウスを置くと答が出ます。

No.60 3×3型の田の字をやって下さい。

田の字計算では同類項は斜めに現れた。このことは、2次3項式同志の掛け算だと、よりはっきりする。

例題　　(x²- x + 1) (x² + x + 1) を計算せよ。---

解 答は x⁴ + x²+ 1

次のような問題だと、同類項が斜めにきれいにそろわない。 （ここは田の字の弱点。）

例題 (a+b+c)² を計算せよ。---

解 答は a² +b² +c² + 2bc + 2ca + 2ab
（後半３項は輪環の順＝尻取りに並べたが、辞書式に +2ab+2ac+2bc でも構わない。）