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平方完成

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"2次関数を標準形に直すこと" = "2次式の平方完成" を田の字計算でやってみよう。


例題 y=x2+3x+4 の右辺を平方完成せよ。---

田の字(正方形を 2×2 型に並べたもの)を書き、左上に x2 を入れる。

 次に、3x を半分にした (3/2)x を2箇所に記入する。なぜなら、2×2 型の方形の田んぼを作るのが目的だから、2箇所に同じものを入れなければならない。

 右下隅は自動的に (3/2)2 = 9/4 になる。はみ出し田んぼを用意し、9/4 と合わせて定数項の 4 に等しくなればよいのだから、

9/4 + □ = 4,
□ = 16/4 - 9/4 = 7/4

で、田の字計算が完了する。したがって、

y = ( x + 3/2)2 + 7/4

例題 y = -2x2 -4x -5 の右辺を平方完成せよ。---

解 両辺を -2 で割って、

y/(-2) = x2 + 2x + 5/2

として、この右辺を平方完成する。田の字により、1辺が x+1 の正方形の田んぼと、面積 3/2 のはみ出し田んぼに整地し直すことができる。すなわち

y/(-2) = ( x + 1)2 + 3/2


最後に、-2 倍して、元に戻せば

y = -2 (x + 1)2 - 3.

 "元に戻"さねばならないことは当然のようでありながら、こういうことを何度もやっていると、2次方程式

2x2 +3x - 4 = 0

を解くとき、

x = (-3 ± √41) / 4

とせっかく正解を出しておきながら、このあと 2 倍して

x = (-3 ± √41) / 2

とする生徒が多発する。(ほんとは、2倍しても 2x = … となるだけで、間違った解は出てこないはずなのだが。)


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