曲面のパラメータ表示

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§1. 平面の方程式

§2. トーラスの方程式

§3. メビウスの帯

§1. 平面の方程式

3次元空間 ($x,y,z$ の3つの座標軸が作る空間）における平面や曲面は 2次元であるから、その方程式は 2つのパラメータ （媒介変数）を使って表現できる。例えば平面なら

$(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+\lambda(a,b,c)+\mu(d,e,f)$

のように、２つのパラメータ $\lambda,\mu$ を使って表される。ちなみに、$(x_{0},y_{0},z_{0})$ は通過点の 1つ、$(a,b,c),(d,e,f)$ は平面を張る（生成する）1次独立な（＝一直線上にない）2つのベクトルである。
同じことだが

$\left\{ \begin{array}{l} x=x_{0}+a\lambda+d\mu\\y=y_{0}+b\lambda+e\mu\\ z=z_{0}+c\lambda+f\mu\end{array}\right. $

と書いてもよい。ところで $\lambda,\mu$ の変域だが、無制限である（すべての実数にわたる）。適宜、変域を制限すれば半平面になったり、平行四辺形や三角形の内部になったりする。

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では、次節以降で曲面の方程式を求めてみよう。

§2. トーラスの方程式

穴あきドーナツの表面を輪環面（トーラスとも）という。

原点 $(x,y,z)=(0,0,0)$ に太陽 $O$ があり、その周りを地球 $E$ が半径 $R>0$ の円軌道を描いて回っているとしよう。 公転面が $x-y$ 平面になるようにする。

地球は 1年かけて $360^{\circ}$ 公転するのだが、$x$ 軸を始線として左回りに角 $\varphi$ だけ回るとすれば、$\varphi$ をパラメータとして地球の位置は

$x=R\cos \varphi,y=R\sin\varphi,z=0$

とパラメータ表示される。

そして、月 $M$ は地球の周りを半径 $r(0<r<R)$ の円軌道を描く。実際の月の公転軸は地球の公転軸（$z$ 軸）に平行であるが、ここでは月の公転軸は地球の進む接線方向に一致すると考える。
月 $M$ は太陽からどれだけ離れたところにいるだろうか（図参照）。$M$ から $x-y$ 平面に下した垂線の足を $M'$ とし、月の回転角を $\sigma$ とする。

$OM'=R+r\cos\sigma$,
$MM'=r\sin\sigma$

月の位置を太陽から見るとどう表されるかというと、

$x=OM' \cos\varphi=(R+r\cos\sigma)\cos\varphi$,
$y=OM' \sin\varphi=(R+r\cos\sigma)\sin\varphi$,
$z=MM'=r\sin\sigma$

したがって、トーラスの方程式は

$\left\{ \begin{array}{l} x=(R+r\cos\sigma)\cos\varphi\\y=(R+r\cos\sigma)\sin\varphi\\ z=r\sin\sigma\end{array}\right. $

だが、変数の変域は無制限と考えてもよいし、

$0 \leq \varphi,\sigma < 2 \pi$

としてもよい。

§3. メビウスの帯

メビウスの帯とは、細長い長方形の短辺同志を 1回ねじって糊付けして作った輪っかである。

帯の幅の長さを $2 r$ とし、幅の真ん中に線（センターライン）を引いてみよう。この線は 1周して完璧な円になる。この円の方程式は

$x=R\cos \varphi,y=R\sin\varphi,z=0$

であって(ただし $R>r>0$)、前節で述べた地球 $E$ の公転軌道そのものだ。$E$ を間に挟んで月 $M$ の反対側に第二の月 $M'$ がある。線分 $MM'$ （長さ $2 r$）はバトンのようなもので、地球 $E$ はバトン・トワリングをしながら太陽の回りを公転する。

バトン上の任意の点を $P$ とする。線分 $PE$ の長さを $rho$ としよう。（$P$ が $M$ 側にあるときは $0<\rho\leq r$ で、$M'$ 側にあるときは $-r \leq \rho<0$ である。） 地球が 1回公転($360^{\circ}$ 回転）するときにバトンは逆さ（裏返し）になるだけなので、半回転($180^{\circ}$ 回転）である。つまり公転角 $\varphi$ の半分の $\frac{\varphi}{2}$ しかバトンは回転しない。よって（上図参照）

$OP'=R-\rho\sin\frac{\varphi}{2}$,
$PP'=\rho\cos\frac{\varphi}{2}$

よってバトン上の点 $P$ を太陽から眺めると

$x=OP' \cos \varphi=(R-\rho\sin\frac{\varphi}{2})\cos \varphi$,
$y=OP' \sin \varphi=(R-\rho\sin\frac{\varphi}{2})\sin \varphi$,
$z=PP'=\rho\cos\frac{\varphi}{2}$

である。

したがって、メビウスの帯の方程式は

$\left\{ \begin{array}{l} x=(R-\rho\sin\frac{\varphi}{2})\cos \varphi\\y=(R-\rho\sin\frac{\varphi}{2})\sin \varphi\\ z=\rho\cos\frac{\varphi}{2}\end{array}\right. $

で、変数の変域は

$0 \leq \varphi< 4 \pi$（無制限でもよい）,
$-r\leq \rho \leq r$

である。

この曲面上で点 $M$ はどのような曲線を描くかと言えば、$\rho=r$(定数) を代入して

$\left\{ \begin{array}{l} x=(R-r\sin\frac{\varphi}{2})\cos \varphi\\y=(R-r\sin\frac{\varphi}{2})\sin \varphi\\ z=r\cos\frac{\varphi}{2}\end{array}\right. $

という 1変数 $\varphi$ によるパラメータ表示の曲線の方程式が得られる。変域は少なくとも $0 \leq \varphi< 4 \pi$ であって、$0 \leq \varphi< 2 \pi$ ではひとつながりの曲線にならない。