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デザルグの定理--2直線の交点を通る
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2直線$f(x,y)=0,g(x,y)=0$の交点を通る直線は
   $f(x,y)+kg(x,y)=0$ …(1)
($k$は任意の定数)で表せる。これがデザルグの定理である。これが数Ⅱの教科書に載っていたりするが、実際には
   $k f(x,y)+l g(x,y)=0$ …(2)
($k,l$は任意の定数で同時に$0$にはならない)の方が計算が楽である。

【問題1】 2直線$x-2y+4=0, 3x+2y-12=0$の交点と、点$(-1,-3)$を通る直線$l$の方程式を求めよ。---

(解) 求める直線の方程式を
   $k(x-2y+4)+l( 3x+2y-12)=0$
とおき、これが点$(-1,-3)$を通るから、これを代入して
   $9k-21l=0$
すなわち
   $3k-7l=0$
だから、$k=7,l=3$として(不定方程式だからこれ以外にも解はある)、求める直線は
   $7(x-2y+4)+3( 3x+2y-12)=0$
整理して
   $16x-8y-8=0$
すなわち
   $2x-y-1=0$……(答)

(1)でやると$k$が分数になって面倒である。(それほどたいした手間ではないが。)

【問題2】 2直線$3x-4y+5=0, 2x+y-4=0$の交点を通り、直線$2x+3y=0$に平行な直線、および垂直な直線の方程式を求めよ。---

(解) 求める直線の方程式を
   $k(3x-4y+5)+l( 2x+y-4)=0$
とおき、これを変形すれば
   $(3k+2l)x +(-4k+l)+(5k-4l)=0$
となる。これが$2x+3y=0$に平行ならば、法線比が等しくなる。すなわち
   $3k+2l : -4k+l = 2:3$
内項の積=外項の積より
   $2(-4k+l)=3(3k+2l)$
   $-17k=4l$
だから、$k=-4,l=17$として、平行な直線は
   $22x+33y-88=0$
すなわち
   $2x+3y-8=0$ …(答1)
一方、垂直の場合は、法線比の内積=0となる。すなわち
   $2(3k+2l)+3(-4k+l) =0$
   $6k=7l$
だから、$k=7,l=6$として、垂直な直線は
   $33x-22y+11=0$
すなわち
   $3x-2y+1=0$ …(答2)


次に、入試問題を解いてみよう。

【問題3】 $xy$ 平面上に直線 $(5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0$ がある。ただし、$k$ は実数とする。
(1) $k=1$ と $k=2$ のときの直線の方程式をそれぞれ求め、さらに、これら2直線の交点 A の座標を求めよ。
(2) $k=0$ のときの直線に垂直で、かつ点 A を通る直線 $l_{1}$ の方程式を求めよ。
(3) 原点 O と点 A を結ぶ線分 OA を $2:3$ に内分する点 B の座標を求めよ。また、点 B を通り、直線 $l_{1}$ に平行な直線 $l_{2}$ の方程式を求めよ。[2010北海学園大学]

(解) (1) 与えられた直線 $(3x-5y+10)+k(5x-3y-10)=0$ は、
   $k=0$ のとき $3x-5y+10=0$ で、
   $k \rightarrow \infty$ のときは($k$ で割って極限を取ればよい) $5x-3y-10=0$
を表す。だから、この 2直線の交点が A なのだが、言われたとおりにやってみると、
   $k=1$ のとき $8x-8y=0$,すなわち $x-y=0$ …(答)
   $k=2$ のとき $13x-11y-10=0$ …(答)
連立方程式を解いて、$x=y=5$ よって A$(5,5)$ …(答)
(2) $3x-5y+10=0$ に垂直な直線は(係数を取り換えて片方の符号を反転し)、$5x+3y=C$ の形だから、$l_{1}$ は
   $5(x-5)+3(y-5)=0$
   $5x+3y-40=0$…(答)
(3) $\overrightarrow{OA}=(5,5)$ を $\frac{2}{2+3}$ 倍して B$=(2,2)$ …(答)
$l_{2}$ は
   $5(x-2)+3(y-2)=0$
   $5x+3y-16=0$…(答)
または $l_{1}$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動して
   $5(x+3)+3(y+3)-40=0$
   $5x+3y-16=0$
としてもよい。

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