平行・垂直な直線
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【問題1】 点$(5,3)$を通り、直線$3x+y+2=0$に平行な直線の方程式を求めよ。---

（解） 直線$ax+by+c=0$の傾きは$-\frac{a}{b}$であり、この直線に平行な直線は傾きが同じだから、
　　　$y=-\frac{a}{b}x +d$
分母を払って整理すれば
　　　$e(ax+by+k)=0$
だが、$e$は別に$1$でもいいので、結局求めるべき平行な直線は
　　　$ax+by+k=0$
($x,y$の係数はそのままにして、定数項だけ未定とすればよい。)
いまの場合は、
　　　$3x+y+k=0$　　　
この直線が点$(5,3)$を通るのだから、これを代入して
　　　$15+3+k=0 \Rightarrow k=-18$
よって、求める直線の方程式は
　　　$3x+y-18=0$……(答)

【問題2】 点$(1,2)$を通り、直線$x-2y+4=0$に垂直な直線の方程式を求めよ。---

（解） 直線$ax+by+c=0$の傾きは$-\frac{a}{b}$であり、この直線に垂直な直線は傾きが逆数の$-1$倍だから、
　　　$y=\frac{b}{a}x +d$
分母を払って整理すれば
　　　$e(bx-ay+k)=0$
だが、$e$は別に$1$でもいいので、結局求めるべき平行な直線は
　　　$bx-ay+k=0$
($x,y$の係数を交換して、片方だけを$-1$倍すればよい。)
いまの場合は、
　　　$-2x-y+k=0$　　　
この直線が点$(1,2)$を通るのだから、これを代入して
　　　$-2-2+k=0 \Rightarrow k=4$
よって、求める直線の方程式は
　　　$-2x-y+4=0$……(答)

【問題3】 点$(4,2)$を通り、直線$y=3x+2$に平行および垂直な直線の方程式を求めよ。---

（解） 求めるべき平行な直線を
　　　$y=3x+k$　　　
とおいて、この直線が点$(4,2)$を通るのだから、これを代入して
　　　$2=12+k \Rightarrow k=-10$
よって、求める直線の方程式は
　　　$y=3x-10$……(答)
また、求めるべき垂直な直線を
　　　$-3y=x+k$　　　
とおいて、この直線が点$(4,2)$を通るのだから、これを代入して
　　　$-6=4+k \Rightarrow k=-10$
よって、求める直線の方程式は
　　　$-3y=x-10$……(答)

【問題4】 次の直線のうち、互いに平行な直線はどれとどれか。
①$y=-2x+1$　②$y=\frac{2}{3}x+1$　③$y=\frac{1}{2}x-3$　④$2x+y+7=0$　⑤$x-2y-4=0$　⑥$4x-6y+1=0$　---

(解) 適宜何倍かした後、全部左辺に寄せる。すなわち
①$2x+y-1=0$　②$-2x +3y-3=0$　③$-x+2y+6=0$　④$2x+y+7=0$　⑤$x-2y-4=0$　⑥$4x-6y+1=0$
これの法線比(仮名)を求めると
①$2:1$　②$-2:3$　③$-1:2$　④$2:1$　⑤$1:-2$　⑥$4:-6$
でもこれでは分かりにくいので、正規化(各項を長さ$=\sqrt{\mbox{第1項}^{2} + \mbox{第2項}^{2}}$で割って、長さを$1$に変換する)し、第1項が正になるように必要なら各項を$-1$倍して、法線余弦(仮名)を計算すると
①$\frac{2}{\sqrt{5}}:\frac{1}{\sqrt{5}}$　②$\frac{2}{\sqrt{13}}:-\frac{3}{\sqrt{13}}$　③$\frac{1}{\sqrt{5}}:-\frac{2}{\sqrt{5}}$　④$\frac{2}{\sqrt{5}}:\frac{1}{\sqrt{5}}$　⑤$\frac{1}{\sqrt{5}}:-\frac{2}{\sqrt{5}}$　⑥$\frac{2}{\sqrt{13}}:-\frac{3}{\sqrt{13}}$
上の6つの中から丸っきり同じものを探して、
　　　①と④、②と⑥、③と⑤
がそれぞれ平行である。

【問題5】 次の直線のうち、互いに垂直な直線はどれとどれか。
①$y=3x-5$　②$y=-3x+2$　③$4x+2y-3=0$　④$2x-6y-7=0$　⑤$x-2y=0$　⑥$3x+9y+4=0$　---

(解) 適宜何倍かした後、全部左辺に寄せる。すなわち
①$-3x+y+5=0$　②$3x +y-2=0$　③$4x+2y-3=0$　④$2x-6y-7=0$　⑤$x-2y=0$　⑥$3x+9y+4=0$
これの法線比を求めると
①$-3:1$　②$3:1$　③$4:2$　④$2:-6$　⑤$1:-2$　⑥$3:9$
ここから法線余弦を計算すると
①$\frac{3}{\sqrt{10}}:-\frac{1}{\sqrt{10}}$　②$\frac{3}{\sqrt{10}}:\frac{1}{\sqrt{10}}$　③$\frac{2}{\sqrt{5}}:\frac{1}{\sqrt{5}}$　④$\frac{1}{\sqrt{10}}:-\frac{3}{\sqrt{10}}$　⑤$\frac{1}{\sqrt{5}}:-\frac{2}{\sqrt{5}}$　⑥$\frac{1}{\sqrt{10}}:\frac{3}{\sqrt{10}}$
垂直になるペアは$(a,b)$と$(b,-a)$だから、上の6つの中からこのようなペアを探して、
　　　①と⑥、②と④、③と⑤
がそれぞれ垂直である。

(蛇足) 直線が互いに垂直になるのは、2つの法線比または法線余弦$(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})$の内積がゼロ、すなわち$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$のときに限ると表現してもよい。