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平行・垂直な直線
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【問題1】 点$(5,3)$を通り、直線$3x+y+2=0$に平行な直線の方程式を求めよ。---

(解) 直線$ax+by+c=0$の傾きは$-\frac{a}{b}$であり、この直線に平行な直線は傾きが同じだから、
   $y=-\frac{a}{b}x +d$
分母を払って整理すれば
   $e(ax+by+k)=0$
だが、$e$は別に$1$でもいいので、結局求めるべき平行な直線は
   $ax+by+k=0$
($x,y$の係数はそのままにして、定数項だけ未定とすればよい。)
いまの場合は、
   $3x+y+k=0$   
この直線が点$(5,3)$を通るのだから、これを代入して
   $15+3+k=0 \Rightarrow k=-18$
よって、求める直線の方程式は
   $3x+y-18=0$……(答)


【問題2】 点$(1,2)$を通り、直線$x-2y+4=0$に垂直な直線の方程式を求めよ。---

(解) 直線$ax+by+c=0$の傾きは$-\frac{a}{b}$であり、この直線に垂直な直線は傾きが逆数の$-1$倍だから、
   $y=\frac{b}{a}x +d$
分母を払って整理すれば
   $e(bx-ay+k)=0$
だが、$e$は別に$1$でもいいので、結局求めるべき平行な直線は
   $bx-ay+k=0$
($x,y$の係数を交換して、片方だけを$-1$倍すればよい。)
いまの場合は、
   $-2x-y+k=0$   
この直線が点$(1,2)$を通るのだから、これを代入して
   $-2-2+k=0 \Rightarrow k=4$
よって、求める直線の方程式は
   $-2x-y+4=0$……(答)


【問題3】
点$(4,2)$を通り、直線$y=3x+2$に平行および垂直な直線の方程式を求めよ。---

(解) 求めるべき平行な直線を
   $y=3x+k$   
とおいて、この直線が点$(4,2)$を通るのだから、これを代入して
   $2=12+k \Rightarrow k=-10$
よって、求める直線の方程式は
   $y=3x-10$……(答)
また、求めるべき垂直な直線を
   $-3y=x+k$   
とおいて、この直線が点$(4,2)$を通るのだから、これを代入して
   $-6=4+k \Rightarrow k=-10$
よって、求める直線の方程式は
   $-3y=x-10$……(答)


【問題4】 次の直線のうち、互いに平行な直線はどれとどれか。
①$y=-2x+1$ ②$y=\frac{2}{3}x+1$ ③$y=\frac{1}{2}x-3$ ④$2x+y+7=0$ ⑤$x-2y-4=0$ ⑥$4x-6y+1=0$ ---

(解) 適宜何倍かした後、全部左辺に寄せる。すなわち
①$2x+y-1=0$ ②$-2x +3y-3=0$ ③$-x+2y+6=0$ ④$2x+y+7=0$ ⑤$x-2y-4=0$ ⑥$4x-6y+1=0$
これの法線比(仮名)を求めると
①$2:1$ ②$-2:3$ ③$-1:2$ ④$2:1$ ⑤$1:-2$ ⑥$4:-6$
でもこれでは分かりにくいので、正規化(各項を長さ$=\sqrt{\mbox{第1項}^{2} + \mbox{第2項}^{2}}$で割って、長さを$1$に変換する)し、第1項が正になるように必要なら各項を$-1$倍して、法線余弦(仮名)を計算すると
①$\frac{2}{\sqrt{5}}:\frac{1}{\sqrt{5}}$ ②$\frac{2}{\sqrt{13}}:-\frac{3}{\sqrt{13}}$ ③$\frac{1}{\sqrt{5}}:-\frac{2}{\sqrt{5}}$ ④$\frac{2}{\sqrt{5}}:\frac{1}{\sqrt{5}}$ ⑤$\frac{1}{\sqrt{5}}:-\frac{2}{\sqrt{5}}$ ⑥$\frac{2}{\sqrt{13}}:-\frac{3}{\sqrt{13}}$
上の6つの中から丸っきり同じものを探して、
   ①と④、②と⑥、③と⑤
がそれぞれ平行である。


【問題5】 次の直線のうち、互いに垂直な直線はどれとどれか。
①$y=3x-5$ ②$y=-3x+2$ ③$4x+2y-3=0$ ④$2x-6y-7=0$ ⑤$x-2y=0$ ⑥$3x+9y+4=0$ ---

(解) 適宜何倍かした後、全部左辺に寄せる。すなわち
①$-3x+y+5=0$ ②$3x +y-2=0$ ③$4x+2y-3=0$ ④$2x-6y-7=0$ ⑤$x-2y=0$ ⑥$3x+9y+4=0$
これの法線比を求めると
①$-3:1$ ②$3:1$ ③$4:2$ ④$2:-6$ ⑤$1:-2$ ⑥$3:9$
ここから法線余弦を計算すると
①$\frac{3}{\sqrt{10}}:-\frac{1}{\sqrt{10}}$ ②$\frac{3}{\sqrt{10}}:\frac{1}{\sqrt{10}}$ ③$\frac{2}{\sqrt{5}}:\frac{1}{\sqrt{5}}$ ④$\frac{1}{\sqrt{10}}:-\frac{3}{\sqrt{10}}$ ⑤$\frac{1}{\sqrt{5}}:-\frac{2}{\sqrt{5}}$ ⑥$\frac{1}{\sqrt{10}}:\frac{3}{\sqrt{10}}$
垂直になるペアは$(a,b)$と$(b,-a)$だから、上の6つの中からこのようなペアを探して、
   ①と⑥、②と④、③と⑤
がそれぞれ垂直である。

(蛇足) 直線が互いに垂直になるのは、2つの法線比または法線余弦$(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})$の内積がゼロ、すなわち$a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$のときに限ると表現してもよい。


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