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どの数体系で因数分解するか

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【問題】 $30x^{2}+36x+6$ を因数分解せよ。---

【解説】 因数分解ではどの数体系の上で行うのかが重要である。例えば $x^2+1$ は複素数係数上でなら
   $x^2 +1=(x+i)(x-i)$
と、複素数係数の多項式の積に直せるが、実数係数上では因数分解できない(既約であるという)。

【解】(ア) 整数係数上で因数分解する場合。
   $30x^{2}+36x+6=6(5x^2+6x+1)=2 \cdot 3 \cdot (x+1)(5x+1)$ ……(答)
(イ) 有理数係数上で因数分解する場合。
定数項のみの多項式、たとえば $2$ を因数分解しようとしたら
   $2=3 \times \frac{2}{3}=\frac{5}{6}\times \frac{12}{5}=\cdots$
のようにどのようにもできてしまう。そのときはモニックな多項式(最高次の係数が $1$ の多項式)の積に因数分解するのがふつうである。今の場合なら
   $30x^{2}+36x+6=6(5x^2+6x+1)=30 (x+1)(x+\frac{1}{5})$ ……(答)
となる。

【対策】 本来はどの数体系で因数分解するかを示さないで、出題することはできない。もし出題されたら、なんと答を書けばよいだろうか。
もし「$5x^{2}+6x+1$ を因数分解せよ」だったら、答は何と書く? この場合は整数係数上で因数分解するものと解釈する。狭い数体系で因数分解できるのなら、それに越したことはないと考えるわけだ。それで
   $5x^{2}+6x+1=(x+1)(5x+1)$ ……(答)
とする。

では「$30x^{2}+36x+6$ を因数分解せよ」が出題されたらどうする? 狭い方でやるというルールに則れば
   $30x^{2}+36x+6=2 \cdot 3 \cdot (x+1)(5x+1)$
だが、問題集の答のページには
   $30x^{2}+36x+6=6 (x+1)(5x+1)$
などと中途半端な答が書かれていそうな気がする。これはおかしいだろう。


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