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複雑な分母の有理化

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【問題】 $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。---

【解】下図のように田の字計算する。
    ←(パラパラ漫画)
つまり
   $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})=1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=-4-2\sqrt{6}$
である。$\sqrt{6}$ を消すためにさらに
   $(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})(2-\sqrt{6})=-2(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})=(-2)^2=4$
結局、元の分数を $(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})(2-\sqrt{6})$ で倍分すれば
   $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{(1-\sqrt{2}-\sqrt{3})(2-\sqrt{6})}{4}=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ ……(答)

【解説】 田の字のような試行錯誤的な方法でなく、原理・原則にしたがって解くとどうなるだろうか。
分母が例えば $3+\sqrt{2}$ だったら、それと共役な無理数 $3-\sqrt{2}$ で倍分するというのが、原則だ。
では、$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+0\sqrt{6}$ の共役は何か。共役写像は 3つ(何もしないという写像も含めると 4つ)ある。
   $\begin{array}{llll} \sigma: & \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2},& \sqrt{3} \mapsto \sqrt{3},& \sqrt{6} \mapsto -\sqrt{6}\\ \tau:& \sqrt{2} \mapsto \sqrt{2},& \sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3},& \sqrt{6} \mapsto -\sqrt{6}\\ \sigma\circ\tau:& \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2},& \sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3},& \sqrt{6} \mapsto \sqrt{6}\\ id:& \sqrt{2} \mapsto \sqrt{2},& \sqrt{3} \mapsto \sqrt{3},& \sqrt{6} \mapsto \sqrt{6} \end{array}$
が 4つの共役写像である。(このガロア群は、クラインの四元群と同型である。)
上記 4つの写像で、$\alpha=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を写すとそれぞれ
   $\alpha'=1-\sqrt{2}+\sqrt{3}$,
   $\alpha''=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$,
   $\alpha'''=1-\sqrt{2}-\sqrt{3}$,
   $\alpha=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$
になる。これを使って分母の有理化を行うと
   $\frac{1}{\alpha}=\frac{\alpha'\alpha''\alpha'''}{\alpha\alpha'\alpha''\alpha'''}$
   $=\frac{-4-2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{-8}=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$


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