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無限等比級数と無限乗積

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§1. 無限等比級数
§2. 無限乗積
§3. 2つをつなぐ問題

§1. 無限等比級数

初項が $1$ で、実数 $r$ ($-1<r<1$) を公比とする等比数列

$1,r,r^2,r^3,\cdots$

の無限個の和

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1}$

無限等比級数と言い、それが収束する値(極限値)を無限等比級数の和と言う。(収束しないときは発散すると言う。)

【例】 2つの級数

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 1=1+1+1+\cdots$,
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}=1-1+1-1+\cdots$

はともに発散する。(後者を「振動」と言いたくなるが、「発散」が正しい。)

【公式】 $-1<r<1$ のときは収束する。

$S=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1}=1+r+r^2+r^3+\cdots$,
$rS=r+r^2+r^3+\cdots$,
2式を辺々引いて
$(1-r)S=1 \Rightarrow S=\frac{1}{1-r}$

したがって、

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1}=\frac{1}{1-r}$

である。(厳密には、等比数列の和の公式において極限をとる。教科書参照。)


§2. 無限乗積

$\Sigma$ は和を意味する記号だが、積は $\prod$ ($\pi$ の大文字)で表す。だから

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1} \times a_{2} \times a_{3} \times \cdots$

である。よって $-1<r<1$ のとき

$(1+r)(1+r^2)(1+r^4)(1+r^8)$
$=(1+r+r^2+r^3)(1+r^4)(1+r^8)$
$=(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+r^7)(1+r^8)$
$=\cdots$

であること(最左辺の指数が $1,2,4,8,\cdots$ と $2$ のベキであることに注意)から

$\displaystyle \prod_{n=0}^{\infty} r^{2^n}=1+r+r^2+ \cdots=\frac{1}{1-r}$

という公式が導かれる。


§3. 2つをつなぐ問題

【問題】 $-1<r<1$ とする。

$\displaystyle Q_{1}=\prod_{n=1}^{\infty}(1+r^{2n-1})$,
$\displaystyle Q_{2}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-r^{2n-1})$,
$\displaystyle Q_{3}=\prod_{n=1}^{\infty}(1+r^{2n})$

のとき、$Q_{1}Q_{2}Q_{3}$ を求めよ。---

【解】 3つの乗積からそれぞれ次のように項を取り出し、掛け合わせてみよう。初めは

$Q_{1}$ から $(1+r)$,
$Q_{2}$ から $(1-r)$,
$Q_{3}$ から $(1+r^2)(1+r^4)(1+r^8)\cdots=\frac{1}{1-r^2}$
3つの積$=(1-r^2)\times \frac{1}{1-r^2}=1$

となり、2番目は

$Q_{1}$ から $(1+r^3)$,
$Q_{2}$ から $(1-r^3)$,
$Q_{3}$ から $(1+r^6)(1+r^{12})(1+r^{24})\cdots=\frac{1}{1-r^6}$
3つの積$=(1-r^6)\times \frac{1}{1-r^6}=1$

で、また 1 である。3番目は

$Q_{1}$ から $(1+r^5)$,
$Q_{2}$ から $(1-r^5)$,
$Q_{3}$ から $(1+r^{10})(1+r^{20})(1+r^{40})\cdots=\frac{1}{1-r^{10}}$
3つの積$=(1-r^{10})\times \frac{1}{1-r^{10}}=1$

でやはり、1 になる。もう、お分かりだろう。

$Q_{1}Q_{2}Q_{3}=1 \times 1 \times 1 \times \cdots=1$ … (答)


この問題は、髙木貞治「解析概論(改訂第3版)軽装版」(岩波書店、1983)の第4章の章末問題にある。



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