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eに収束する級数

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【問題1】極限値 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ を求めよ。---

【解】 先回りして言うと答は
   $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=e$
である。$e$ の定義式は
   $e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}$
であるから、これを変形していこう。
   $(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
   $=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
   $= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
ここで $\sum$ の中の項において $n\rightarrow\infty$ とすれば
   $\frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \rightarrow \frac{1}{k!} (1\cdot \cdots \cdot 1)=\frac{1}{k!}$
だから
   $(1+\frac{1}{n})^{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
ここでまた極限をとれば
   $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}=e$ ……(答)

【蛇足】 この計算は厳密ではない。本質的に
   $\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k} =\sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k} $
という性質を使っているが、それがほんとに成り立つかについて考慮していないからである。
なお問題の級数は収束のスピードが速いことで有名で、$e$ の近似値を求めるにはこの級数を利用するのがよい。

【問題2】 $\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$ を無限級数の形で表せ。---

【解】 上記【蛇足】で述べた性質が成り立つことが仮定できれば
   $(1+\frac{x}{n})^{n}=\sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k}$
   $=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{x^k}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n} x^k$
   $= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
となり、
   $\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n} =\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
   $=\sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
   $=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ ……(答)

【問題3】 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ を微分せよ。---

【解】 $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
とおけば
   $f'(x)=(1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots)' =1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
したがって導関数は元の関数に等しい。
【答】 $(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!})'=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

【蛇足】 $f'(x)=f(x)$ であり、$f(0)=1$ だから、実は $f(x)=e^x$ である。
ここでは
   $\frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{\infty} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{d}{dx} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} $
という微分と無限和の順序交換の公式を断りなしに使っている。
また問題の無限級数は $-\infty<x<\infty$ において収束するのだが、それの確認を怠っているし、導関数の収束条件にも触れずにいる。いずれも大学レベルの内容だからだ。
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