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eに関連する数列・級数

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§1. eを定義する数列
§2. eに収束する級数

§1. eを定義する数列

$e$ というのはネピア数であり、自然対数の底とも言われる。伝統的にその値は、ある数列の極限値で定義される。その数列とは問題1の数列 $\{a_{n}\}$ であるが、収束のスピードが遅いのであまり良い定義ではないが、歴史的経緯があって仕方がない。

【問題1.1】 一般項が $a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$ である数列 $\{ a_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$ に対し、$a_{n} < a_{n+1}$ (単調増加)が成り立つことを証明せよ。---

【証明】 $a_{n}$ を二項展開すると
   $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
   $=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}$
   $=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
   $= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
$n$ が 1 増加すると、各項($\sum$ の中) が増加し、しかも項数も 1 増すから、$a_{n}<a_{n+1}$■

上記の数列は単調増加だから、その級数の和(級数)は∞に発散するかもしれないと思われるが、実際には有限確定値 $e$ に収束する。これで $e$ を定義することとする。すなわち

【定義】 $e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$

【問題1.2】 一般項が $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ である数列 $\{ b_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$ に対し、$b_{n} > b_{n+1}$ (単調減少)が成り立つことを証明せよ。---

【証明】 $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(1/\frac{n}{n+1})^{n+1}=1/(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}$
だから、
   $c_{n}=(1-\frac{1}{n})^{n}$
が単調増加することを示せばよい。
$c_{n}$を二項展開すると
   $c_{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(-\frac{1}{n})^{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{[(n+1)/2]-1} \{ $$_{n}C_{2i}(-\frac{1}{n})^{2i} + $$_{n}C_{2i+1}(-\frac{1}{n})^{2i+1} \} +K$
ここに $[ \mbox{ } ]$ はガウスの記号で、$K$ は $n$ が偶数のときの $k=n$ に対応する項($>0$)である($n$ が奇数のときは $K=0$)。
   $c_{n}=\sum \{ \frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!} \cdot \frac{1}{n^{2i+1}} \}+K$
において、$\{ \mbox{ } \}$ を取り出して計算しよう。
   $\frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!} \cdot \frac{1}{n^{2i+1}} $
   $=\frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}} -\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \cdot \frac{1}{n^{k+1}} $
   $= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) - \frac{1}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})\cdot (1- \frac{k}{n})$
   $= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \{ 1- \frac{1}{k+1}(1- \frac{k}{n}) \}$
   $= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \cdot \frac{k}{k+1}(1+\frac{1}{n})$
   $= \frac{k}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n^2}) (1- \frac{2}{n})\cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) $
$n$が1増加すると、$\{ \mbox{ } \}$ の項の値は増加し、しかも項数が1増す($K$ のこと)可能性があるから、$c_{n}<c_{n+1}$■

【蛇足】 上記の2つの数列の極限値は
   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=e$,
   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} b_{n}=\lim a_{n}\times(1+\frac{1}{n})=e$
でいずれも、自然対数の底 $e$である。
数列 $\{ b_{n}\}$ の方は各項が正($b_{n}>0$)で単調減少だから、正または 0 に収束する。先ほどは $\{a_{n}\}$ は「∞に発散するかも」と言ったが、これで有限値に収束することが分かった。

ところで
   $a_{1}<a_{2}< \cdots <e<\cdots <b_{2}<b_{1}$
となることに注意して、この数列で $e$ の近似値および誤差を求めてみよう。Excel で計算すると次のようになる。( suretsu006.xlsx をクリックして Excel ファイルをダウンロードできる。)4列目が $a_{n}$ の値、5列目が $b_{n}$ の値、6列目の「差」が $b_{n}-a_{n}$ の値である。これが 0 にどれくらい近いかで近似値の精度が分かる。

n 1/n 1+1/n n乗 n+1乗
1 1.00000000 2.00000000 2.00000000 4.00000000 2.00000000
2 0.50000000 1.50000000 2.25000000 3.37500000 1.12500000
3 0.33333333 1.33333333 2.37037037 3.16049383 0.79012346
4 0.25000000 1.25000000 2.44140625 3.05175781 0.61035156
5 0.20000000 1.20000000 2.48832000 2.98598400 0.49766400
6 0.16666667 1.16666667 2.52162637 2.94189743 0.42027106
7 0.14285714 1.14285714 2.54649970 2.91028537 0.36378567
8 0.12500000 1.12500000 2.56578451 2.88650758 0.32072306
9 0.11111111 1.11111111 2.58117479 2.86797199 0.28679720
10 0.10000000 1.10000000 2.59374246 2.85311671 0.25937425
11 0.09090909 1.09090909 2.60419901 2.84094438 0.23674536
12 0.08333333 1.08333333 2.61303529 2.83078823 0.21775294
13 0.07692308 1.07692308 2.62060089 2.82218557 0.20158468
14 0.07142857 1.07142857 2.62715156 2.81480524 0.18765368
15 0.06666667 1.06666667 2.63287872 2.80840397 0.17552525
16 0.06250000 1.06250000 2.63792850 2.80279903 0.16487053
17 0.05882353 1.05882353 2.64241438 2.79785051 0.15543614
18 0.05555556 1.05555556 2.64642582 2.79344948 0.14702366
19 0.05263158 1.05263158 2.65003433 2.78950982 0.13947549
20 0.05000000 1.05000000 2.65329771 2.78596259 0.13266489
21 0.04761905 1.04761905 2.65626321 2.78275194 0.12648872
22 0.04545455 1.04545455 2.65896986 2.77983212 0.12086227
23 0.04347826 1.04347826 2.66145012 2.77716534 0.11571522
24 0.04166667 1.04166667 2.66373126 2.77472006 0.11098880
25 0.04000000 1.04000000 2.66583633 2.77246978 0.10663345
26 0.03846154 1.03846154 2.66778497 2.77039208 0.10260711
27 0.03703704 1.03703704 2.66959398 2.76846783 0.09887385
28 0.03571429 1.03571429 2.67127785 2.76668063 0.09540278
29 0.03448276 1.03448276 2.67284914 2.76501636 0.09216721
30 0.03333333 1.03333333 2.67431878 2.76346274 0.08914396
31 0.03225806 1.03225806 2.67569631 2.76200909 0.08631278
32 0.03125000 1.03125000 2.67699013 2.76064607 0.08365594
33 0.03030303 1.03030303 2.67820765 2.75936546 0.08115781
34 0.02941176 1.02941176 2.67935543 2.75816000 0.07880457
35 0.02857143 1.02857143 2.68043929 2.75702327 0.07658398
36 0.02777778 1.02777778 2.68146442 2.75594954 0.07448512
37 0.02702703 1.02702703 2.68243548 2.75493373 0.07249826

これだけ計算しても小数第1位すら決定できない。たしかに収束のスピードが遅い。


§2. eに収束する級数

【問題2.1】極限値 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ (指数級数の和)を求めよ。---

【解】 先回りして言うと答は
   $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=e$
である。$e$ の定義式:
   $e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}$
を変形していこう。
   $(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
   $=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
   $= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
ここで $\sum$ の中の項において $n\rightarrow\infty$ とすれば
   $\frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \rightarrow \frac{1}{k!} (1\cdot \cdots \cdot 1)=\frac{1}{k!}$
だから
   $(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
ここでまた極限をとれば
   $\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}=e$ ……(答)

【蛇足】 この計算は厳密ではない。本質的に
   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k} =\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k} $
という性質(極限と無限和の順序交換)を使っているが、それがほんとに成り立つかについて考慮していないからである。
なお問題の級数は収束のスピードが速いことで有名で、$e$ の近似値を求めるにはこの級数を利用するのがよい。

【問題2.2】 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$ を無限級数の和の形で表せ。---

【解】 上記【蛇足】で述べた性質が成り立つことが仮定できれば
   $(1+\frac{x}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k}$
   $=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{x^k}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n} x^k$
   $= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
となり、
   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n} =\lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
   $=\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
   $=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ ……(答)

【問題2.3】 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots$ を微分せよ。---

【解】 $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
とおけば
   $f'(x)=(1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots)' =1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
したがって導関数は元の関数に等しい。
【答】 $(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!})'=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

【蛇足】 「微分方程式 $\frac{d}{dx}y=y$ の解は $y=Ce^x$ ($C$ は定数)」なることを既知とすれば、問題2.3は $f'(x)=f(x), f(0)=1$ を意味するから、$f(x)=e^x$ である。
ここでは
   $\frac{d}{dx} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} =\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{d}{dx} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} $
という微分と無限和の順序交換の公式を断りなしに使った。
また問題の無限級数は $-\infty<x<\infty$ において収束するのだが、それの確認を怠ったし、導関数の収束条件にも触れなかった。いずれも大学レベルの内容だからだ。

厳密に言えば問題がある論証だが、問題2.2 と問題2.3 から

$ e^x=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$

なることが言える。大雑把に言えば

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}=\{ \lim(1+\frac{1}{n/x})^{n/x}\}^x=e^x$

が成り立つって訳だ。

ここで $n/x=y$ とおいて、$\{ \}$ の中の極限値が $e$ になることを確認しておこう。

【問題2.4】 $y$ を実数(自然数ではない)の変数とする。 $\displaystyle \lim_{y \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{y})^y=e$ を証明せよ。---

【証明】 挟み撃ちで行く。$n\leq y<n+1$ なる整数 $n$ をとる。

$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{y})^y< (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}/(1+\frac{1}{n+1}) \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}\cdot(1+\frac{1}{n})$
$\displaystyle e/1 \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq e\cdot 1$
$\displaystyle \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y=e$ ■




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