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eを定義する数列

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【問題1】 一般項が$a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$である数列$\{ a_{n} \}$について、すべての自然数$n$に対し、$a_{n} < a_{n+1}$が成り立つことを証明せよ。---

【証明】 $a_{n}$を二項展開すると
   $\sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
   $=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}$
   $=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
   $= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
$n$が1増加すると、各項($\sum$ の中) が増加し、しかも項数も1増すから、$a_{n}<a_{n+1}$■

【問題2】 一般項が $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ である数列$\{ b_{n} \}$について、すべての自然数$n$に対し、$b_{n} > b_{n+1}$が成り立つことを証明せよ。---

【証明】 $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(1/\frac{n}{n+1})^{n+1}=1/(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}$
だから、
   $c_{n}=(1-\frac{1}{n})^{n}$
が単調増加することを示せばよい。
$c_{n}$を二項展開すると
   $c_{n}=\sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(-\frac{1}{n})^{k}=\sum_{i=0}^{[(n+1)/2]-1} \{ $$_{n}C_{2i}(-\frac{1}{n})^{2i} + $$_{n}C_{2i+1}(-\frac{1}{n})^{2i+1} \} +K$
ここに $[ \mbox{ } ]$ はガウスの記号で、$K$ は $n$ が偶数のときの $k=n$ に対応する項($>0$)である($n$ が奇数のときは $K=0$)。
   $c_{n}=\sum \{ \frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!} \cdot \frac{1}{n^{2i+1}} \}+K$
において、$\{ \mbox{ } \}$ を取り出して計算しよう。
   $\frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!} \cdot \frac{1}{n^{2i+1}} $
   $=\frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}} -\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \cdot \frac{1}{n^{k+1}} $
   $= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) - \frac{1}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})\cdot (1- \frac{k}{n})$
   $= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \{ 1- \frac{1}{k+1}(1- \frac{k}{n}) \}$
   $= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \cdot \frac{k}{k+1}(1+\frac{1}{n})$
   $= \frac{k}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n^2}) (1- \frac{2}{n})\cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) $
$n$が1増加すると、$\{ \mbox{ } \}$ の項は増加し、しかも項数が1増す($K$ のこと)可能性があるから、$c_{n}<c_{n+1}$■


【蛇足】 上記の2つの数列の極限値は
   $\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=e$,
   $\lim_{n\rightarrow \infty} b_{n}=\lim a_{n}\times(1+\frac{1}{n})=e$
でいずれも、自然対数の底 $e$である。しかも
   $a_{1}<a_{2}< \cdots <e<\cdots <b_{2}<b_{1}$
となるから、この数列で $e$ の近似値および誤差までが求められる。実際、Excel で計算すると次のようになる。( suretsu006.xlsx をクリックして Excel ファイルをダウンロードすることもできる。)

n 1/n 1+1/n n乗 n+1乗
1 1.00000000 2.00000000 2.00000000 4.00000000 2.00000000
2 0.50000000 1.50000000 2.25000000 3.37500000 1.12500000
3 0.33333333 1.33333333 2.37037037 3.16049383 0.79012346
4 0.25000000 1.25000000 2.44140625 3.05175781 0.61035156
5 0.20000000 1.20000000 2.48832000 2.98598400 0.49766400
6 0.16666667 1.16666667 2.52162637 2.94189743 0.42027106
7 0.14285714 1.14285714 2.54649970 2.91028537 0.36378567
8 0.12500000 1.12500000 2.56578451 2.88650758 0.32072306
9 0.11111111 1.11111111 2.58117479 2.86797199 0.28679720
10 0.10000000 1.10000000 2.59374246 2.85311671 0.25937425
11 0.09090909 1.09090909 2.60419901 2.84094438 0.23674536
12 0.08333333 1.08333333 2.61303529 2.83078823 0.21775294
13 0.07692308 1.07692308 2.62060089 2.82218557 0.20158468
14 0.07142857 1.07142857 2.62715156 2.81480524 0.18765368
15 0.06666667 1.06666667 2.63287872 2.80840397 0.17552525
16 0.06250000 1.06250000 2.63792850 2.80279903 0.16487053
17 0.05882353 1.05882353 2.64241438 2.79785051 0.15543614
18 0.05555556 1.05555556 2.64642582 2.79344948 0.14702366
19 0.05263158 1.05263158 2.65003433 2.78950982 0.13947549
20 0.05000000 1.05000000 2.65329771 2.78596259 0.13266489
21 0.04761905 1.04761905 2.65626321 2.78275194 0.12648872
22 0.04545455 1.04545455 2.65896986 2.77983212 0.12086227
23 0.04347826 1.04347826 2.66145012 2.77716534 0.11571522
24 0.04166667 1.04166667 2.66373126 2.77472006 0.11098880
25 0.04000000 1.04000000 2.66583633 2.77246978 0.10663345
26 0.03846154 1.03846154 2.66778497 2.77039208 0.10260711
27 0.03703704 1.03703704 2.66959398 2.76846783 0.09887385
28 0.03571429 1.03571429 2.67127785 2.76668063 0.09540278
29 0.03448276 1.03448276 2.67284914 2.76501636 0.09216721
30 0.03333333 1.03333333 2.67431878 2.76346274 0.08914396
31 0.03225806 1.03225806 2.67569631 2.76200909 0.08631278
32 0.03125000 1.03125000 2.67699013 2.76064607 0.08365594
33 0.03030303 1.03030303 2.67820765 2.75936546 0.08115781
34 0.02941176 1.02941176 2.67935543 2.75816000 0.07880457
35 0.02857143 1.02857143 2.68043929 2.75702327 0.07658398
36 0.02777778 1.02777778 2.68146442 2.75594954 0.07448512
37 0.02702703 1.02702703 2.68243548 2.75493373 0.07249826

これだけ計算しても小数第1位すら決定できない。収束のスピードが遅いのだ。

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