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【問題演習】数列・級数
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【問題1】 一般項が$a_{n}=3-4n$で表される数列$\{ a_{n} \}$がある。 数列$\{ a_{n} \}$の項を、初項から2つおきにとってできる数列$a_{1},a_{4},a_{7},\cdots$は等差数列であることを示してください。また、初項と公差を

【問題2】 次の数列の初項から第n項までの和を求めてください。---

【問題3】 次の和を求めよ。---

【問題4】 一般項が$a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$である数列$\{ a_{n} \}$について、すべての自然数$n$に対し、$a_{n} < a_{n+1}$が成り立つことを証明せよ。---

【問題5】 次の条件によって定められる数列$\{ a_{n} \}$の一般項を求めよ。---

【問題6】 自然数からなる等差数列で、この等差数列の項の最大値は27で、項の和は75である。この等差数列をすべて求めよ。---

【問題7】 (1) 初項$1$,公比$1/2$の無限等比級数の和$S$と、初項から第$n$項までの和$S_{n}$との差が、初めて$1/1000$より小さくなるような$n$の値を求めよ。ただし、$\log_{2}10=0.3010$とする。

【問題8】 数列 $1/1,1/(1+2),1/(1+2+3),1/(1+2+3+4),1/(1+2+3+4+5),\cdots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ を求めよ。---


【問題1】 一般項が$a_{n}=3-4n$で表される数列$\{ a_{n} \}$がある。 数列$\{ a_{n} \}$の項を、初項から2つおきにとってできる数列$a_{1},a_{4},a_{7},\cdots$は等差数列であることを示してください。また、初項と公差を求めてください。---

【解】 「2つおき」というのは、 ●××●××●××●× … のことです。
$a_{n}=3-4n$ は
   $-1, -5, -9, -13, -17, -21, -25, -29, -33, -37, -41, \cdots$
ですから、2つおきなら
   $-1, -13, -25, -37, \cdots$
です。
初項-1, 公差-12 です。……(答)
第1,4,7,…項を取るわけだから、
   $n(k) = 3k-2$
を$a_{n}=3-4n$ に代入して、
   $a_{n(k)} = 3-4(3k-2) =11-12k$
初項は $a_{n(1)} = 11-12 = -1$, 公差は $\{ 11-12(k+1) \} - (11-12k) = -12$ とやってもかまいません。■
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【問題2】 次の数列の初項から第n項までの和を求めてください。---
2,2+4,2+4+6,2+4+6+8,⋯

【解】 第k項は
   $2+4+6+8+ \cdots +2k = 2(1+2+3+4+\cdots+k) = 2\times k(k+1)/2 = k(k+1)$
だから、これを$k=1$ から$ n$ まで総和する。
   $\sum_{k=1}^{ n} k(k+1) = \sum(k^{2} + k) $
   $= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
   $ = \frac{n(n+1)}{6} \{(2n+1)+3\} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} $■

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【問題3】 次の和を求めよ。---
$1 \cdot 2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+・・・+n(n+1)(n+2) $


【解】
   $S = 1 \cdot 2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+・・・+n(n+1)(n+2) $
とおきましょう。
まず
   $k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2) $
   $= \{(k+3)-(k-1)\}\times k(k+1)(k+2)$
   $= 4 \times k(k+1)(k+2)$
に注意します。これって、順列$_{ n}P_{r}$ で表すと、
   $_{k+3}P_{4} - _{k+2}P_{4}$
です。

  $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 - 0\cdot 1\cdot 2\cdot 3 = 4 \times 1\cdot 2\cdot 3$
  $2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 - 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 4 \times 2\cdot 3\cdot 4$
  $3\cdot 4\cdot5\cdot6 - 2\cdot3\cdot4\cdot5 = 4 \times 3\cdot4\cdot5$
  $4\cdot5\cdot6\cdot7 - 3\cdot4\cdot5\cdot6 = 4 \times 4\cdot5\cdot6$
  …………………………………………………………
$+) n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)n(n+1)(n+2) = 4 \times n(n+1)(n+2)$
-----------------------------------------------------------
  $n(n+1)(n+2)(n+3) - 0 = 4 \times S$

辺々加えると上記のようになります。
よって
$S = n(n+1)(n+2)(n+3)/4$■

【蛇足】 定積分を求めるのに、原始関数$F(x)$を求めて、$F(b)-F(a)$ と
差をとると答が出るのと理屈は同じです。

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【問題4】 一般項が$a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$である数列$\{ a_{n} \}$について、すべての自然数$n$に対し、$a_{n} < a_{n+1}$が成り立つことを証明せよ。---

【証明】 $a_{n}$を二項展開すると
   $\sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
   $=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}$
   $=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
   $= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
$n$が1増加すると、各項が増加し、しかも項数も1増すから、$a_{n}<a_{n+1}$■

【蛇足】 この数列は、$a_{1}=2$から徐々に増加しながら、自然対数の底 $e=2.718\cdots$に収束する。

【参考】 より詳しくは eを定義する数列 を参照せよ。

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【問題5】 次の条件によって定められる数列$\{ a_{n} \}$の一般項を求めよ。---
① $a_{ 1}=1, a_{ 2}=2, a_{ n+2} +3a_{ n+1} -4a_{ n}=0$
② $a_{ 1}=0, a_{ 2}=1, a_{ n+2} +5a_{ n+1} +6a_{ n}=0$
③ $a_{ 1}=1, a_{ 2}=4, a_{ n+2}-6a_{ n+1} +9a_{ n}=0$


【一般論】
3項間の漸化式
   $a_{n+2} + b a_{n+1} + c a_{n} = 0$
があったとします。これが
   $a_{n+2} - \lambda_{1} a_{n+1} = \lambda_{2}( a_{n+1} - \lambda_{1} a_{n} )$
と変形できたとするなら
   $a_{n+2} - (\lambda_{1}+\lambda_{2}) a_{n+1} + \lambda_{1} \lambda_{2} a_{n} =0$
となって、係数比較すれば
   $\lambda_{1}+\lambda_{2} = - b, \lambda_{1}\lambda_{2} = c$
だから $\lambda_{1}, \lambda_{2}$は
   $t^2 + bt + c = 0$ …(1)
の解である。(1)をこの数列の固有(特性)方程式という。

(ア)固有方程式が相異なる実数解$\lambda_{1}, \lambda_{2}$を持つとき
   $a_{n} - \lambda_{1} a_{n-1}= \lambda_{2} ( a_{n-1} - \lambda_{1} a_{n-2} )$
   $= \lambda_{2}^2 ( a_{n-2} - \lambda_{1} a_{n-3} )$
   $= \cdots $
   $= \lambda_{2}^{n-2} ( a_{2} - \lambda_{1} a_{1} )$ ……(2)
同様に
   $a_{n} - \lambda_{2} a_{n-1}= \lambda_{1}^{n-2} ( a_{2} - \lambda_{2} a_{1} )$ ……(3)
あとは(2)と(3)から、加減法で$a_{n-1}$を消去すれば、一般項 $a_{n}$ が求まる。

(イ)固有方程式が重解$\lambda$を持つとき
   $a_{n} - \lambda a_{n-1}= \lambda( a_{n-1} - \lambda a_{n-2})$
   $= \lambda^2 ( a_{n-2} - \lambda_{1} a_{n-3})$
   $= \cdots$
   $= \lambda^{n-2}( a_{2} - \lambda a_{1} )$ ……(4)
このあと
   $a_{n} - \lambda a_{n-1} = \lambda^{n-2} ( a_{2} - \lambda a_{1} )$
   $\lambda (a_{n-1} - \lambda a_{n-2}) = \lambda^{n-2} ( a_{2} - \lambda a_{1} )$
   $\lambda^2 ( a_{n-2} - \lambda a_{n-3} ) = \lambda^{n-2} ( a_{2} - \lambda a_{1} )$
   $\lambda^3 (a_{n-3} - \lambda a_{n-4}) = \lambda^{n-2} ( a_{2} - \lambda a_{1} )$
   …………………………………………………………
   $\lambda^{n-2}(a_{2} - \lambda a_{1} ) = \lambda^{n-2} ( a_{2} - \lambda a_{1} )$
の辺々を足して
   $a_{n} - \lambda^{n-1}a_{1} = (n-1) \cdot \lambda^{n-2} ( a_{2} - \lambda a_{1} )$
移項すれば $a_{n}$ が分かる。

【問題に対する解】
① 固有方程式は
   $t^2 + 3t -4 = 0,$
   $(t-1)(t+4) = 0$
   $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-4$
   $a_{n} - a_{n-1} = (-4)^{n-2} (a_{2}- a_{1}) = (-4)^{n-2}$
   $a_{n} +4a_{n-1} = 1^{n-2} (a_{2}+4a_{1}) = 6$
加減法で $a_{n-1}$ を消去して
   $5a_{n} = -(-4)^{n-1} + 6$
(答) $a_{n} = (-1/5) \cdot (-4)^{n-1} + 6/5$

② 固有方程式は
   $t^2 + 5t +6 = 0,$
   $(t+2)(t+3) = 0$
   $\lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=-3$
   $a_{n} +2 a_{n-1} = (-3)^{n-2} (a_{2}+2a_{1}) = (-3)^{n-2}$
   $a_{n} +3 a_{n-1} = (-2)^{n-2} (a_{2}+3a_{1}) = (-2)^{n-2}$
加減法で $a_{n-1}$ を消去して
   $a_{n} = -(-3)^{n-1} + (-2)^{n-1}$ ……(答)

③ 固有方程式は
   $t^2 -6t +9 = 0,$
   $(t-3)^2 = 0$
   $\lambda=3$(重解)
   $a_{n} - 3a_{n-1} = 3^{n-2} (a_{2}- 3a_{1}) = 3^{n-2}$
よって
   $a_{n} - 3a_{n-1} = 3^{n-2}$
   $3 (a_{n-1} - 3a_{n-2}) = 3^{n-2}$
   $3^2 (a_{n-2} - 3a_{n-3}) = 3^{n-2}$
   ……………………………………
   $3^{n-2}(a_{2} - 3a_{1} ) = 3^{n-2}$
辺々足して
   $a_{n}-3^{n-1}a_{1} = (n-1) \cdot 3^{n-2}$
(答) $a_{n} = 3^{n-1} + (n-1) \cdot 3^{n-2}$■

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【問題6】 自然数からなる等差数列で、この等差数列の項の最大値は27で、項の和は75である。この等差数列をすべて求めよ。---

【解】
   和 = (27+末項)×n/2 = 75,
   (27+末項)×n = 150
150を素因数分解すると、2×3×5×5
しかも
   28 ≦ (27+末項) ≦54
だから、
   27+末項 = 30, 50
しかない。よって
   末項=3, 23
それぞれに対して
   n = 5, 3
だから
前者は 27, 21, 15, 9, 3
後者は 27, 25, 23
あとはこの逆順。
【答】
27, 21, 15, 9, 3;
3, 9, 15, 21, 27;
27, 25, 23;
23, 25, 27
の4つ■

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【問題7】 (1) 初項$1$,公比$1/2$の無限等比級数の和$S$と、初項から第$n$項までの和$S_{n}$との差が、初めて$1/1000$より小さくなるような$n$の値を求めよ。ただし、$\log_{2}10=0.3010$とする。
(2) 半径$1$,中心角$\theta$の扇形$OA_{0}A_{1}$がある。$A_{1}$から$OA_{0}$に下ろした垂線を$A_{1}A_{2}$, $A_{2}$から$OA_{1}$に下ろした垂線を$A_{2}A_{3}$とし、以下同様の操作を無限に続けます。
(2-1) 線分$A_{1}A_{2}$と線分$A_{2}A_{3}$の長さを、$\theta$を使ってそれぞれ表せ。
(2-2) 線分$A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},\cdots$の長さの総和を求めよ。---


【解】 (1)
   $|S-S_{n}| = | \frac{1}{1-r} - \frac{1-r^n}{1-r} |$
   $= |\frac{r^{n}} {1-r}|$
   $=(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{1000}$
$2^{10} = 1024$ だから $n \geq 11$ ……(答)
(2)
   
   $OA_{1} = 1, A_{1}A_{2} = OA_{1}\sin\theta=\sin\theta$ ……(答)
   $OA_{2} = OA_{1}\cos\theta=\cos\theta, A_{2}A_{3} =OA_{2}\sin\theta=\cos\theta\sin\theta$ ……(答)
   $OA_{3} = OA_{2}\cos\theta=\cos^2 \theta, A_{3}A_{4}=OA_{3}\sin\theta =\cos^2 \theta \sin\theta $
   ……………………
よって
   和$ = \sin\theta + \cos\theta\sin\theta +\cos^2\theta \sin\theta +\cdots $
   $ = \sin\theta (1 + \cos\theta +\cos^2\theta +\cdots)$
   $=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$ ……(答)

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【問題8】 数列 $1/1,1/(1+2),1/(1+2+3),1/(1+2+3+4),1/(1+2+3+4+5),\cdots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ を求めよ。---

【解】 一般項は
   $\frac{1}{ n(n+1)/2} = \frac{2}{n(n+1)} = 2 ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$
部分分数分解(ブンブンブンのブン3連発)します。これの和を取ると電車の連結部分が消えて、先頭の運転士と、車掌だけが残ります。
   $S_{n}= 2 \{ (\frac{1}{1} -\frac{1}{2}) +(\frac{1}{2} -\frac{1}{3}) +\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) \}$
   $=2(1- \frac{1}{n+1})=\frac{2n}{n+1}$ ……【答】
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