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【問題演習】三角比・三角関数
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目 次

【問題1】 (1) $\theta rad=a^{\circ}$ であるときの$\theta$を$a$で表せ。

【問題2】 $(sin75°+cos75°)^2+(sin15°-cos15°)^2$ の値を求めよ。---

【問題3】 AB=AC の直角二等辺三角形ABCにおいて、BC=a とし、辺BCの中点をMとする。また、辺BCの三等分点をBに近い方から順にP、Qとする。

【問題4】 $y=\sin(x+\pi /4)$のグラフの周期と$\sin x$からいくら平行移動したかを求めよ。---

【問題5】 $y=\sin(2x-\pi /3)$のグラフは$y=\sin 2x$のグラフをどれだけ平行移動したものか。また、周期はいくらか。---

【問題6】 半径1の円に外接する正$n$角形($n \geq3$)の周の長さを$2a_{n}$,また、半径1の円に内接する正$n$角形($n \geq3$)の周の長さを$2b_{n}$とする。


【問題1】 (1) $\theta rad=a^{\circ}$ であるときの$\theta$を$a$で表せ。
(2) 次のうち、値が大きいのはどちらか(単位円周上に根拠とした角を示すこと)。$\cos 5,\cos 4$ ---

【解】 (1) $\pi rad = 180^{\circ}$
です。両辺を180で割ると
   $\frac{\pi}{180} rad = 1^{\circ}$
すなわち
   $1^{\circ} = \frac{\pi}{180} rad $
これを
   $\theta rad = a^{\circ}$
の右辺に代入すると
   $\theta rad = a \frac{\pi}{180} rad$
両辺が等しいということは、単位(rad)の前についた数が等しいということだ。ゆえに
   $\theta = \frac{\pi}{180}a$ ……(答)

(2) この答の両辺に$\frac{180}{\pi}$ を掛ければ
   $a = \frac{180}{\pi} \theta$
だから
   5 rad は $\frac{180}{\pi} ×5 \doteq 300^{\circ}$(第4象限の角)
   4 rad は $\frac{180}{\pi} ×4 \doteq 240^{\circ}$(第3象限の角)
となる。$\pi$は3として計算しました。
したがって
   cos5 > 0 > cos4
(答) cos5 > cos4 ■

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【問題2】 $(sin75°+cos75°)^2+(sin15°-cos15°)^2$ の値を求めよ。---

【解】 $sin(90°-θ)=cosθ,cos(90°-θ)=sinθ$
という公式があります。だから
   $sin75°= cos15°= a,$
   $cos75°= sin15°= b $
とおけば与式は
   $(a + b)^2 + (b - a)^2 = 2(a^2 + b^2) = 2$ ……(答)
なぜなら $cos^2 θ + sin^2 θ = 1$ だから。

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【問題3】 AB=AC の直角二等辺三角形ABCにおいて、BC=a とし、辺BCの中点をMとする。また、辺BCの三等分点をBに近い方から順にP、Qとする。
(1) △APQの面積をaを用いて表せ。また、このとき、線分APの長さをaを用いて表せ。
(2) △ABCを線分APとAQを折り目として、辺ABと辺ACが重なるように折り曲げ、点BとCが重なった点をDとし、四面体DAPQを考える。このとき、cos∠AMDの値を求めよ。
(3) 四面体DAPQの体積が4のとき、aの値を求めよ。---

【解
   
(1) PQ = a/3, AM = a/2 より
   $△APM = \frac{a^2}{ 12}$ ……(答)
また
   $AP =\sqrt{AM^2 + PM^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{36}} =\frac{\sqrt{10}}{6}a$ ……(答)
(2) 変形コサイン定理を使います。
   $AB = \frac{a}{\sqrt{2}},$
   $AM = \frac{a}{2},$
   $DM = \sqrt{(a/3)^2 - (a/6)^2} = \frac{\sqrt{3}}{6}a$
だから、∠AMD=θとおけば
   $\cos \theta=\frac{AM^2 + DM^2 - AB^2}{2×AM×DM}= -\frac{1}{\sqrt{3}}$ ……(答)
(3) 四面体の高さhは
   $h = DM×\sin(\pi-\theta) = \frac{\sqrt{2}}{6}a$
底面積は(1)より$△APM = a^2 / 12$ だから
   $V = \frac{1}{3}×\frac{a^2}{ 12}×\frac{\sqrt{2}}{6} a$
   $= \frac{\sqrt{2}}{6^3}×a^3$
これが4に等しいから
   $a^3 = 2\sqrt{2}×6^3$
よって
   $a = 6\sqrt{2}$ ……(答)

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【問題4】 $y=\sin(x+\pi /4)$のグラフの周期と$\sin x$からいくら平行移動したかを求めよ。---

【解】$y=\sin x$のグラフを$x$軸方向に $-\pi/4$ だけ平行移動。
周期は$y=\sin x$ と同じで $2\pi$ ……(答)

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【問題5】 $y=\sin(2x-\pi /3)$のグラフは$y=\sin 2x$のグラフをどれだけ平行移動したものか。また、周期はいくらか。---

【解】 $y=\sin(2x-\pi /3)=\sin 2(x-\pi/6)$
$y=\sin 2x$を$x$軸方向に $\pi/6$ だけ平行移動。 ……(答)
$2x$ で周波数が2倍だから、周期は半分になる。
周期 $= (2\pi)/2 = \pi$ ……(答)

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【問題6】 半径1の円に外接する正$n$角形($n \geq3$)の周の長さを$2a_{n}$,また、半径1の円に内接する正$n$角形($n \geq3$)の周の長さを$2b_{n}$とする。
(1) $a_{n},b_{n}$を$n$で表せ。
(2) 0°<θ<90°のとき、次の等式が成り立つことを示せ。
   $\sin \theta=\tan\theta/\sqrt{1+\tan^2 \theta}$ ,
   $\tan(\theta/2)=\tan\theta/(1+\sqrt{1+\tan^2 \theta})$
(3) $a_{12},b_{12}$の値を求めよ。---


【解】 (1)
   
上図を見てください。中心角が $2\pi/n$ の扇形です。外接する2等辺3角形の底辺の半分は $\tan(\pi/n)$,内接する2等辺3角形の底辺の半分は $\sin(\pi/n)$である。
$n$角形だからそれぞれ$n$ 倍して、
   $a_{n} = n \tan(\pi/n)$
   $b_{n} = n \sin(\pi/n)$
(2)
   $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
の両辺を$\sin^2 \theta$で割って
   $1 + 1/\tan^2 \theta = 1/\sin^2\theta$
逆数をとって
   $\sin^2\theta=\tan^2\theta/(1+\tan^2\theta)$
開平すれば
   $\sin\theta=\tan\theta/\sqrt{1+\tan^2\theta}$ ……(*)
$\tan$ の2倍角の公式から
   $\tan\theta=\frac{2\tan(\theta/2)}{1-\tan^2 (\theta/2)}$
ここで $x=\tan(\theta/2)$とおいて、分母を払って整理すると
   $\tan\theta \cdot x^2 +2x - \tan\theta = 0$
この2次方程式を解の公式で解いて
   $x = \tan(\theta/2) =\frac{-1+\sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta}$
分子を有理化して
   $\tan(\theta/2)=\frac{\tan\theta}{1+\sqrt{1+\tan^2\theta}}$ ……(**)
(3)
   $a_{12} = 12 \tan(\pi/12)$
(**)より
   $\tan(\pi/12) = 2-\sqrt{3}$ ……(***)
だから
   $a_{12} = 12 (2-\sqrt{3})$ ……(答)
   $b_{12} = 12 \sin(\pi/12)$
では(*)と(***)を使う。分母を有理化したり、2重根号を外して
   $b_{12} = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ ……(答)

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