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sin18°の値
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$ \sin 18^{\circ}=\cos 72^{\circ}$ の値はいくらだろう。360/5=72$だから、$72^{\circ}$は正5角形の1辺を見込む中心角の大きさである。ペンタグランマ(五芒星)を描いて、幾何学的に(三角形の合同・相似を使って)この値を求めることができる。
     (ペンタグランマ/晴明神社)
それについては、別のページ「正5角形と三角比」で述べた。

ここでは、三角形の合同・相似を使わずに、複素数や複素数平面の考えを使って、この値を求めよう。(そちらの解き方の方が素直である。)
$z=\cos 72^{\circ} +i\sin 72^{\circ}$とおけば、これは絶対値が1で偏角が$72^{\circ}$の複素数である。
ド・モアブルの定理により、 $z^{n}$は絶対値が$1^{n}=1$で、偏角が$72^{\circ}\times n$の複素数になる。
   
当然、$z^{5}=1$である。$z$を求めるには、この5次方程式を解けばよい。
因数定理により、$z^{5}-1$は$z-1$で割り切れて
   $z^{5}-1=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)=0$
$z \neq 1$より、後の括弧の中を$z^{2}$で割って
   $z^{2}+z+1+\frac{1}{z} +\frac{1}{z^{2}} =0$
これを相反方程式という。ここで$z+\frac{1}{z}=\alpha$とおけば
   $z^{2}+\frac{1}{z^{2}}=(z+\frac{1}{z})^{2}-2= \alpha^{2}-2$
だから、
   $\alpha^{2}+\alpha-1=0$
よって
   $\alpha=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
ところで
   $\alpha =z+\frac{1}{z}=(\cos 72^{\circ} +i\sin 72^{\circ})+(\cos (-72^{\circ}) +i\sin (-72^{\circ}))=2 \cos72^{\circ} $
で、$\alpha>0$だから
   $\cos72^{\circ} =\frac{1}{2} \alpha=\frac{ \sqrt{5}-1}{4}$   


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