加法定理の証明法

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§1. わりと分かりやすい方法

§2. エレガントな証明

§3. 複素数を使う方法

§4. ベクトルを使った証明

§5. 1次変換を使う方法

加法定理の証明法をいくつか紹介しよう。

§1. わりと分かりやすい方法

やや厳密性に難はあるが、分かりやすい証明を最初に紹介しよう。
次図を描いて、証明する。
　　　
図から

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, $
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha sin \beta $

が出てくる。
あるいは、少し省略した下図を使って、証明することにしてもよい。　
　　　

§2. エレガントな証明

単位円周上に回転角（偏角） $\alpha$ と $-\beta$ の2つの動点があるとする。
すなわち座標が

$ \begin{array}{lcll}A(\cos \alpha & ,& \sin\alpha &), \\B(\cos (-\beta)& ,& \sin(-\beta)&) \end{array} $

である2点である。
この2点をともに $\beta$ だけ回転すれば、それぞれ

$ \begin{array}{lcll}A'(\cos (\alpha+\beta) & , & \sin(\alpha+\beta) &) ,\\ B'(\cos 0 & , & \sin0 &) \end{array} $

という点に移る。
　　　
回転移動しても長さは変わらないから、2点間の距離の2乗は等しくて、

$ A'B'^{2} = AB^{2} $

である。したがって、

$ \{\cos (\alpha+\beta)-1\}^{2}+ \sin^{2}(\alpha+\beta) = (\cos \alpha-\cos \beta)^{2}+ (\sin\alpha+\sin\beta)^{2} $

から

$ 2-\cos(\alpha+\beta) = 2-2(\cos \alpha\cos \beta-\sin\alpha\sin\beta) $

となって、

$ \cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha\cos \beta-\sin\alpha\sin\beta $

が出る。
加法定理の他の公式は、$\beta$ の代わりに $-\beta$ を代入したり、

$ \sin(\alpha+\beta)= \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta) $

を使って、芋づる式に導き出す。
一見、回転の合成を使っていないように見え(実際には使っている)、しかも距離の公式(三平方の定理)しか使わない証明であり、見事である。かつてどこかの大学入試問題に出ていたものである。

§3. 複素数を使う方法

計算が楽なのは複素数を使って

$ \cos(\alpha+\beta) +i \sin(\alpha+\beta) = (\cos\alpha +i \sin\alpha )(\cos\beta +i \sin\beta ) $

で証明する方法である。
複素数は大変便利であり、例えば3倍角の公式を忘れたときは

$ \cos 3 \alpha +i \sin 3\alpha =(\cos\alpha +i \sin\alpha )^{3} $

の右辺を展開して、

$ \cos 3\alpha= \cos^{3}\alpha-3\cos\alpha\sin^{2}\alpha $
$= - 3\cos\alpha + 4\cos^{3}\alpha ,$
$ \sin 3\alpha= 3\cos^{2}\alpha\sin\alpha - \sin^{3}\alpha $
$= 3\sin\alpha - 4\sin^{3}\alpha $

とやればよい。

§4. ベクトルを使った証明

【準備】正射影の1次結合に分解
そもそもサイン・コサインとは、半径1の円の円周上の点の座標であった。つまり、$x$軸の正の部分から左回りに測った角が $\theta$ の単位ベクトル $\vec{u}(\theta)$ の、$x$軸および$y$軸への正射影の(有向的な)長さがそれぞれ $\cos \theta$, $\sin \theta$ であった。
　　　
上図の左側のように描くと、第1象限だけしか通用しない話のように見えてしまうが、実際には他の象限(例えば第2象限なら上図右側)に行っても大丈夫で、$-\infty < \theta <\infty$ としてよい。なぜなら、正射影の長さを負にもなりうるようにしているからである。よって、

$ \vec{u}(\theta) = \cos\theta \vec{e_{1}} + \sin\theta \vec{e_{2}} \label{eqn:m_302} $ ……(2)
ただし $\vec{e_{1}}=\left[ \begin{array}{r}1 \\0\end{array} \right], \vec{e_{2}}= \left[ \begin{array}{r}0 \\1\end{array} \right] $

と、単位ベクトル $\vec{u}(\theta)$ を両座標軸、すなわち基本ベクトル $\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}$ 方向への正射影の1次結合で表現できる。
実は、基本ベクトルでなくても2次元平面の基底をなす($=$1次独立な)1組のベクトル $\vec{f_{1}},\vec{f_{2}}$ であればいいのである。
いま、$\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}$ をそれぞれ角 $\beta$ だけ回転してできるベクトルを $\vec{f_{1}},\vec{f_{2}}$ としよう。
　　　
(2)より

$ \vec{f_{1}} = \cos\beta \vec{e_{1}} + \sin\beta \vec{e_{2}} $ ……(3)

および

$ \vec{f_{2}} = \cos(\frac{\pi}{2} +\beta) \vec{e_{1}} + \sin(\frac{\pi}{2} +\beta) \vec{e_{2}} $

となる。もしここで

$ \left\{ \begin{array}{lcr}\cos(\frac{\pi}{2} +\beta) & = & -\sin\beta \\\sin(\frac{\pi}{2} +\beta) & = & \cos\beta \end{array} \right. $ ……(4)

が分かれば、$\vec{f_{2}}$ は

$ \vec{f_{2}} = -\sin\beta \vec{e_{1}} + \cos\beta \vec{e_{2}} $ ……(5)

と書き直すことができる。

【証明】
加法定理を証明するには、$\alpha+\beta$ の回転を考えればいいのだから、$\vec{f_{1}}$ を基準にして測った角が $\alpha$ である単位ベクトル

$ \vec{v} = \cos\alpha \vec{f_{1}} + \sin\alpha \vec{f_{2}} $ ……(6)

を考えればよい。
　　　
このベクトルは、$\vec{e_{1}}$ を基準にして測った角が $\alpha+\beta$ なので $\vec{u}(\alpha+\beta)$ であるから、(2)より

$ \vec{v} = \cos(\alpha+\beta)\vec{e_{1}}+(\alpha+\beta)\vec{e_{2}} $

でもある。一方、(6)に (3), (5) を代入すれば

$ \vec{v} = \cos\alpha (\cos\beta \vec{e_{1}} + \sin\beta \vec{e_{2}}) \mbox{　　}+ \sin\alpha (-\sin\beta \vec{e_{1}} + \cos\beta \vec{e_{2}}) $
$ = (\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta)\vec{e_{1}} \mbox{　　}+(\cos\alpha \sin\beta+\sin\alpha\cos\beta) \vec{e_{2}} $

となるから、基本ベクトルの係数を比較して

$ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta, $
$ \sin(\alpha+\beta) = \cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha\cos\beta $

が導かれる。

【証明の補足】
前節の方法による証明法において、ネックになるところは (4) だ。もちろんこの等式を加法定理を使って示すことはできない。それをすれば加法定理を使って加法定理を証明することになり、循環論法になるからである。
　　　
では (4) をどうやって証明するか。教科書にはよく上図の左側が載っているが、ここでは基底を回転移動させているのだから、図の右側のように座標軸を回転するのが自然だろう。
$y$軸の正の部分から測って $\beta$ の角のところにベクトルがあるのだから、$y$軸($\vec{e_{2}}$)への正射影が $\cos\beta$ で、$x$軸の負の方向($-\vec{e_{1}}$)への正射影が $\sin\beta$ となって、

$ \cos\beta \vec{e_{2}} + \sin\beta(-\vec{e_{1}}) =-\sin\beta\vec{e_{1}}+ \cos\beta \vec{e_{2}} $

で、基本ベクトルの係数を比較して (4) が証明される。($-\infty < \beta <\infty$ としている。)

§5. 1次変換を使う方法

複素数に代わる方法に、1次変換がある。

$ \left[ \begin{array}{rr} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{array} \right] $

を使う方法である。
ただ、現在これは高校の教育課程から外れているので使えない方法である。