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クモ・ハエ算-不定方程式
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一松[1] のp.36 にクモ・ハエ算が出てくる。フィリピンの小学校で実際に教えられているそうだ。

【問題】 クモ(8本足)とハエ(6本足)を何匹ずつかつかまえた。足の数は合計46本だった。おのおのを何匹つかまえたか?---

鶴亀算と異なるのは合計で何匹いると言っていない点である。だからこれは不定解になる。(1つに解が決まらない。)
さて、高校生だったら、次のような解答になるだろう。

【解】
8と6の最大公約数は2だから、
   $8x+6y=2$
を満たす整数$x,y$が存在する。特殊解を目の子で見つけると
   $x=1,y=-1$
である。実際、
   $8 \cdot 1+6 \cdot (-1)=2$
だが、両辺を23倍すれば
   $8 \cdot 23+6 \cdot (-23)=46$ ……(1)
となる。ところで、いま解決すべき問題の(不定)方程式は
   $8x+6y=46$ ……(2)
である。(1)と(2)を辺々引いて
   $8(x-23)+6(y+23)=0$
だから
   $8(x-23)=-6(y+23)=24k$
$24k(k$は整数) と置けるのは、8と6の最小公倍数が24だからである。よって一般解は
   $x=3k+23,y=-4k-23$
ただし$x,y$はともに0以上の整数でなければならないから
   $k \geq -\frac{23}{3}=-7.6,y \leq -\frac{23}{4}=-5.7$
より、
   $k=-7,-6$
である。これに対応する$x,y$の値は
   $x=3 \cdot (-7)+23=2,y=-4 \cdot (-7)-23=5;$
   $x=3 \cdot (-6)+23=5,y=-4 \cdot (-6)-23=1$
【答】クモとハエがそれぞれ2匹と5匹か、または5匹と1匹■

ところで、フィリピンの小学生はどう解くのだろう。以下は私の想像である。

【別解】

上のような表を作る。掛け算、引き算、割り算でできる。この中でハエが0以上の整数値になるのは黄色の2ヵ所だけである。


【参考文献】
[1] 一松信著「整数とあそぼう」日本評論社、2006年7月刊
   


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