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あぶら算と不定方程式

§1. 塵劫記の問題

§2. 不定方程式を解けばよい

§3. 1組の解とそれに対応する具体的方略

§4. 幾何学的解法

§5. 別解

§∞. 注

§１．塵劫記の問題

江戸時代の和算書「塵劫記」(注[1])に『あぶら算の事』という項目がある。問題を少し言い換えれば

（問) １０升(＝1斗) から３升マスと７升マスを使って、５升を測り取れ。
(塵劫記の挿絵)

となる。（１０升と限定せず、あぶらは無尽蔵にあるとしてもよい。）

§２．不定方程式を解けばよい

（解）　この問題は、

3 x + 7 y = 5 　……　（１）

という不定方程式の整数解を求めることに帰着する。3 と 7 は互いに素だから
　　　3 x + 7 y = 1
は解を持ち、それは目の子ですぐに見つかり、例えば
　　　x = -2, y = 1
である。これを 5倍すれば（１）の特殊解
　　　x = -10, y = 5　 ……　（２）
が求まる。これを（１）に代入して
　　　3 ・(-10) + 7 ・5 = 5
だが、これを（１）から辺々引けば
　　　3 (x +10) + 7 (y - 5) = 0
だから、一般解

x = -10 + 7k, y = 5 - 3k　……　（３）

が得られる。

§３．1組の解とそれに対応する具体的方略

（解１）ここで、例えば k = 1 とすれば

x = -3, y = 2 ……　（４）

という、（１）を満たす１組の解が得られるが、この値って何だろう？

実はこれが、油の測り取り方の具体的方略を示しているのである。今の場合、y が正であるのでこれは油を貯蔵庫からマスに
　　　汲み出してくる回数
を意味し、負数であるｘはマスから貯蔵庫へ
　　　戻す回数
を意味している。

では、（４）に対応する具体的方略を示そう。
　(1) 貯蔵庫から7升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (0, 7) これが「汲み出し」1回目。
　(2) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (3, 4)
　(3) 3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 4) これが「戻し」1回目。
　(4) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動して、 (A, B) = (3, 1)
　(5) 3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 1) 「戻し」2回目。
　(6) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (1, 0)
　(7) 貯蔵庫から7升マスへ汲み出して (A, B) = (1, 7) 「汲み出し」2回目(汲み出しはもうおしまい)。
　(8) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (3, 5) （まだ終わりではない。このままだと3升マスのあぶらの料金を請求されるので…）
　(9) 最後に、3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 5) 「戻し」3回目で完了。

(※) ここまでの説明では、銀林浩著「初等整数論入門」（ちくま学芸文庫、2015）p.78の問題とその解答を参考にさせてもらいました。

§４．幾何学的解法

k = 1 のときの解を幾何学的に求めてみよう。

(図１）

初め、原点にあった動点が　(A, B) = (0, 7) へ移動したと思えば、これが汲み出し1回目。青矢印のように、座標軸に平行に、座標が増える方向で移動すれば「汲み出し」で、減る方向なら「戻し」だ。
あぶらを両マス間で移動する訳だが、それは赤色の直線
　　　 x + y = k (一定)
上の移動を意味する。
図のように点が(3, 4) に移動したが、3升マスの「戻し」１回目をすれば、この点は (0, 4) と同一視できる。つまり x 座標は mod.3 で同一視できる。だから直線 x = 0 と直線 x = 3 は同じものだ。
同様に、 y 座標は mod.7 で同一視できる。だから直線 y = 0 と直線 y = 7 は同じものだ。

（図２）

点が (3, 4) → (0, 4) の同一視をした時点で、あぶらが3升減って「戻し」1回目が行なわれた。黄色の矢印で示した。
このあと、(0, 4) → (3, 1) のマス間移動を行なう。

（図３）

(3, 1) を (0, 1) と同一視して、「戻し」2回目。
(1, 0 ) を (7, 1) を同一視して「汲み出し」2回目。
(3, 5) を (0, 5) を同一視して「戻し」3回目。
これで、5升が測り取れた。

x = -3 が x 軸方向の左向き黄矢印の本数, y = 2 がｙ軸方向の上向き青矢印の本数を表していることが分かる。

§５．別解

（解２）さて、塵劫記の解答(注[2])では（３）においてk = 2 としたものになっている。すなわち

x = 4, y = -1 ……　（５）

である。（４）でも（５）でも
　　　|x| + |y| = 5
だから、手間は本質的には同じだ。

塵劫記の解答の具体的方略を図示しながら述べておこう。

（図４）

(1) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (3, 0) これが「汲み出し」1回目（青矢印）。

（図５）

(2) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動（赤矢印）し、 (A, B) = (0, 3)
(3) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (3, 3) これが「汲み出し」2回目。
(4) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (0, 6)

（図６）

(5) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (0, 6) → (3, 6) これが「汲み出し」3回目。
(6) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (2, 7)
(7) 7升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (2, 0) これが「戻し」1回目（黄矢印）。戻しはおしまい。
(8) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (0, 2)
(9) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出して、 (A, B) = (3, 2) これが「汲み出し」4回目。これで汲み出しも完了だから、完成しているはず。
　(10) 最後に、3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (0, 5) たしかに完成だ。

x = 4 がｘ軸方向の右向き青矢印の本数, y = -1 がｙ軸方向の下向き黄矢印の本数を表していることが分かる。

§∞. 注

[1] 塵劫記（岩波文庫 p.224）の問題の原文は次の通り。

「あぶら一斗を二人してわけて取（とる）時に、三升ますと七升ますと、これにてわけてとれといふ時に、」

[2] 塵劫記（岩波文庫）の解答の原文は次の通り。

「先（まづ）三升ますにて三ばいくみて七升ますへ入（いるれ）ば、三升ますに二升残る時、
　　[ (A,B)=(3,0)→(0,3)→(3,3)→(0,6)→(3,6)→(2,7) ]
七升ますに有（ある）をもとのおけへあけて、此二升を七升ますへ入（いれ）て、三升ますにて一ぱい入（いる）れば、五升づゝと成なり。
　　[ (A,B,C)=(2,7,1)→(2,0,8)→(0,2,8)→(3,2,5)→(0,5,5) ]
」

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