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あぶら算と不定方程式

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§1. 塵劫記の問題
§2. 不定方程式を解けばよい
§3. 1組の解とそれに対応する具体的方略
§4. 幾何学的解法
§5. 別解
§∞. 注

§1.塵劫記の問題

江戸時代の和算書「塵劫記」(注[1])に『あぶら算の事』という項目がある。問題を少し言い換えれば
(問) 10升(=1斗) から3升マスと7升マスを使って、5升を測り取れ。
(塵劫記の挿絵)
となる。(10升と限定せず、あぶらは無尽蔵にあるとしてもよい。)


§2.不定方程式を解けばよい

(解) この問題は、
3 x + 7 y = 5  …… (1)
という不定方程式の整数解を求めることに帰着する。3 と 7 は互いに素だから
   3 x + 7 y = 1
は解を持ち、それは目の子ですぐに見つかり、例えば
   x = -2, y = 1
である。これを 5倍すれば(1)の特殊解
   x = -10, y = 5  …… (2)
が求まる。これを(1)に代入して
   3 ・(-10) + 7 ・5 = 5
だが、これを(1)から辺々引けば
   3 (x +10) + 7 (y - 5) = 0
だから、一般解
x = -10 + 7k, y = 5 - 3k …… (3)
が得られる。


§3.1組の解とそれに対応する具体的方略

(解1) ここで、例えば k = 1 とすれば
x = -3, y = 2 …… (4)
という、(1)を満たす1組の解が得られるが、この値って何だろう?

実はこれが、油の測り取り方の具体的方略を示しているのである。今の場合、y が正であるのでこれは油を貯蔵庫からマスに
   汲み出してくる回数
を意味し、負数である x はマスから貯蔵庫へ
   戻す回数
を意味している。

では、(4)に対応する具体的方略を示そう。
 (1) 貯蔵庫から7升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (0, 7) これが「汲み出し」1回目。
 (2) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (3, 4)
 (3) 3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 4) これが「戻し」1回目。
 (4) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動して、 (A, B) = (3, 1)
 (5) 3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 1) 「戻し」2回目。
 (6) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (1, 0)
 (7) 貯蔵庫から7升マスへ汲み出して (A, B) = (1, 7) 「汲み出し」2回目(汲み出しはもうおしまい)。
 (8) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (3, 5) (まだ終わりではない。このままだと3升マスのあぶらの料金を請求されるので…)
 (9) 最後に、3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 5) 「戻し」3回目で完了。

(※) ここまでの説明では、銀林浩著「初等整数論入門」(ちくま学芸文庫、2015)p.78の問題とその解答を参考にさせてもらいました。


§4.幾何学的解法

k = 1 のときの解を幾何学的に求めてみよう。
(図1)
初め、原点にあった動点が (A, B) = (0, 7) へ移動したと思えば、これが汲み出し1回目。青矢印のように、座標軸に平行に、座標が増える方向で移動すれば「汲み出し」で、減る方向なら「戻し」だ。
あぶらを両マス間で移動する訳だが、それは赤色の直線
    x + y = k (一定)
上の移動を意味する。
図のように点が(3, 4) に移動したが、3升マスの「戻し」1回目をすれば、この点は (0, 4) と同一視できる。つまり x 座標は mod.3 で同一視できる。だから直線 x = 0 と直線 x = 3 は同じものだ。
同様に、 y 座標は mod.7 で同一視できる。だから直線 y = 0 と直線 y = 7 は同じものだ。
(図2)

点が (3, 4) → (0, 4) の同一視をした時点で、あぶらが3升減って「戻し」1回目が行なわれた。黄色の矢印で示した。
このあと、(0, 4) → (3, 1) のマス間移動を行なう。

(図3)

(3, 1) を (0, 1) と同一視して、「戻し」2回目。
(1, 0 ) を (7, 1) を同一視して「汲み出し」2回目。
(3, 5) を (0, 5) を同一視して「戻し」3回目。
これで、5升が測り取れた。

x = -3 が x 軸方向の左向き黄矢印の本数, y = 2 が y 軸方向の上向き青矢印の本数を表していることが分かる。


§5.別解

(解2) さて、塵劫記の解答(注[2])では(3)においてk = 2 としたものになっている。すなわち
x = 4, y = -1 …… (5)
である。(4)でも(5)でも
   |x| + |y| = 5
だから、手間は本質的には同じだ。

塵劫記の解答の具体的方略を図示しながら述べておこう。
(図4)
(1) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (3, 0) これが「汲み出し」1回目(青矢印)。
(図5)
(2) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動(赤矢印)し、 (A, B) = (0, 3)
(3) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (3, 3) これが「汲み出し」2回目。
(4) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (0, 6)
(図6)
(5) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (0, 6) → (3, 6) これが「汲み出し」3回目。
(6) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (2, 7)
(7) 7升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (2, 0) これが「戻し」1回目(黄矢印)。戻しはおしまい。
(8) 3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (0, 2)
(9) 貯蔵庫から3升マスへ汲み出して、 (A, B) = (3, 2) これが「汲み出し」4回目。これで汲み出しも完了だから、完成しているはず。
 (10) 最後に、3升マスのあぶらを7升マスへ移動し、 (A, B) = (0, 5) たしかに完成だ。

x = 4 が x 軸方向の右向き青矢印の本数, y = -1 が y 軸方向の下向き黄矢印の本数を表していることが分かる。


§∞. 注

[1] 塵劫記(岩波文庫 p.224)の問題の原文は次の通り。

「あぶら一斗を二人してわけて取(とる)時に、三升ますと七升ますと、これにてわけてとれといふ時に、」

[2] 塵劫記(岩波文庫)の解答の原文は次の通り。

「先(まづ)三升ますにて三ばいくみて七升ますへ入(いるれ)ば、三升ますに二升残る時、
  [ (A,B)=(3,0)→(0,3)→(3,3)→(0,6)→(3,6)→(2,7) ]
七升ますに有(ある)をもとのおけへあけて、此二升を七升ますへ入(いれ)て、三升ますにて一ぱい入(いる)れば、五升づゝと成なり。
  [ (A,B,C)=(2,7,1)→(2,0,8)→(0,2,8)→(3,2,5)→(0,5,5) ]


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