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循環小数と循環節の長さ

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§1. 循環小数

分数を小数に直すには、分子を分母で割ればよい。割り切れれば有限小数であり、そうでなければ循環小数になる。
   
上の$\frac{1}{7}$の例ならば、余りは$1,2,\cdots,6$のどれかにならざるを得ず、割り算を繰り返していけばいつかは以前と同じ余りが必ず出るので、そこから以降は循環する。上の場合、小数は$142857$(これを循環節という)の繰り返しとなる。これを
   $\frac{1}{7} = 0.\dot{1} 4285 \dot{7}$
と書き、循環節の長さが6であると言う。余りは先述の通り6種類しかないのだから、循環節はこれより長い長さを欲することはできない。
循環小数になる分数でも、
      $\frac{1}{3} = 0.\dot{3}$
のように、循環節が非常に短い(長さ=1)ものもある。分母がどんな数だと循環節が長くなるのだろうか。それを述べるのが、本稿の目的だ。


§2. 有限小数になる場合

循環小数の話の前に、有限小数になる場合について述べる。
分母を因数分解したとき、$2$または$5$の素数しか含まれていないと、有限小数になる。すなわち、有限小数になる必要十分条件は、分母が
   $2^{\alpha} \times 5^{\beta}(\alpha,\beta \geq 0)$
という数になることである。

【例】
   $\frac{1}{8} = 0.125$
   $\frac{1}{20} = 0.05$


§3. $1/n$の場合

$1/n$において、分母$n$が$2,5$以外の素数を含むときを考察する。この場合は循環小数になるのだが、循環節を最高に長くするためにはどうすればよいだろうか。前述の$\frac{1}{7}$の例で考えてみる。
割り算を繰り返したのだが、商ではなく余りに注目すると
   $10 \div 7 = \Box \cdots 3,$
   $30 \div 7 = \Box \cdots 2,$
   $20 \div 7 = \Box \cdots 6,$
   $60 \div 7 = \Box \cdots 4,$
   $40 \div 7 = \Box \cdots 5,$
   $50 \div 7 = \Box \cdots 1$
となっている。これを$7$を法として合同式で表わしてみると
   $10 \equiv 3(mod.7),$
   $3 \times 10 \equiv 2(mod.7),$
   $2 \times 10 \equiv 6(mod.7),$
   $6 \times 10 \equiv 4(mod.7),$
   $4 \times 10 \equiv 5(mod.7),$
   $5 \times 10 \equiv 1(mod.7)$
これをさらに書き直すと
   $10 \equiv 3(mod.7),$
   $10^{2} \equiv 2(mod.7),$
   $10^{3} \equiv 6(mod.7),$
   $10^{4} \equiv 4(mod.7),$
   $10^{5} \equiv 5(mod.7),$
   $10^{6} \equiv 1(mod.7)$
これは初項が$10$, 公比が$10$の等比数列、すなわち
   $10,10^{2},10^{3}, \cdots,10^{e}$
で、第$e$項に至って初めて$\equiv 1$になるものである。そして、余りは、先述した割り算の仕組みにより
   $1,2,3, \cdots, n-1$
の$n-1$種類のどれかしかないので、
   $e \leq n-1$
である。$e$がめいっぱいの$n-1$であるとき、$10$は法$n$の数系において原始根であるという。

結局、循環節が最大限に長くなって、循環節の長さ=$n-1$となるための必要十分条件は、法$n$の数系において$10$が原始根になることであると、分かる。


§4. 原始根を求める

こうなれば、あとはExcel を使って原始根を求めよう。

法(mod)=2~19について、$10$が原始根になるかどうかを調べた。縦に上から$10,10^{2},10^{3},\cdots$が並べてある。青の対角線(←→)の所に注目して、そこが 1 になっているかを見ればよい。($\equiv 0$ になる所は有限小数で、$\equiv 0$ でも $\equiv 1$ でもない所は§7.で述べる。)

$\equiv 1$になるのは全部で
   $10^{2} \equiv 1(mod.3),$
   $10^{6} \equiv 1(mod.7),$
   $10^{8} \equiv 1(mod.9),$
   $10^{10} \equiv 1(mod.11),$
   $10^{12} \equiv 1(mod.13),$
   $10^{16} \equiv 1(mod.17),$
   $10^{18} \equiv 1(mod.19)$
の7つなのだが、このうち初めて$\equiv 1$になるものに絞ると
   $10^{6} \equiv 1(mod.7),$
   $10^{16} \equiv 1(mod.17),$
   $10^{18} \equiv 1(mod.19)$
の3つになる。実際、循環小数を求めると
   $\frac{1}{7} = 0.\dot{1} 4285 \dot{7},$
   $\frac{1}{17} = 0.\dot{0} 58823529411764 \dot{7},$
   $\frac{1}{19} = 0.\dot{0} 5263157894736842\dot{1}$
となり、循環節はいずれも最高に長い。ところで上のExcelのセルには

のように関数が埋め込まれている。また$1$を赤くするには「条件付き書式」の機能を使う。

2~19の間にある素数は

$2,3,5,7,11,13,17,19$



ですべてであるので、$10$が原始根になる法$n$は少なくとも素数でなければならない、と看取される。(証明は後述。)でも、素数でさえあればよいかというとそうではなく、素数であることは必要条件だが十分条件ではない。

Excelでさらに、$n$が$1$~$100$の範囲内で、$10$が原始根になる$n$を得たいならば、素数に限定して調べると能率がよい。$1$~$100$の間にある素数は

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$



の25個だがこの中で$1/n$を小数に直したとき循環節の長さ=$n-1$になる$n$は、

$7,17,19,23,29,47,59,61,97$



の9個であることが分かる。(これら9個の素数に特別な意味はなく、我々がたまたま10進小数を採用しているという偶然による。7進法なり、8進法なりを採用すれば別の素数がその役を担うであろう。)

保留にしていた証明を書いておこう。
【定理】 法 $n(\geq 2)$ において $10$ が原始根ならば、$n$ は素数である。
(証明) もし $n$ が合成数であったとする。$n=n_{1} \cdot n_{2}(n_{1},n_{2}>1) $と因数分解できるが、$10$ が原始根であることから
   $10^{x} \equiv n_{1}(mod.n) (\mbox{ただし}1 \leq x < e)$
である $x$ が存在する。これに対し
   $10^{x} \cdot n_{2} \equiv n_{1} \cdot n_{2} \equiv 0 (mod.n)$
なので、両辺に $10^{e-x}$ を掛ければ
   $10^{e} \cdot n_{2} \equiv 0 \Rightarrow n_{2} \equiv 0(mod.n)$
となる。これは、$n_{2}$ が $n_{1}\cdot n_{2}$ で割り切れることを意味するので、$n_{2}=1$ となり矛盾。■


§5. $m/p$($10$が原始根)の循環節

例えば
   $\frac{1}{17} = 0.\dot{0} 58823529411764 \dot{7}$
となることは分かった。では、
   $\frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \cdots, \frac{16}{17}$
はどんな循環小数になるのだろうか。
この節では分母の $p$ は、法 $p$ において $10$ が原始根になるような素数とする。
具体例として、$2/7$で考えてみる。$1/7$の余りの数列は、先述したように
   $10 \equiv 3(mod.7),$
   $10^{2} \equiv 2(mod.7),$
   $10^{3} \equiv 6(mod.7),$
   $10^{4} \equiv 4(mod.7),$
   $10^{5} \equiv 5(mod.7),$
   $10^{6} \equiv 1(mod.7)$
の公比 $10$ の等比数列であったが、$2/7$ の余りの数列も、
   $2 \times 10 \equiv 6(mod.7),$
   $2 \times 10^{2} \equiv 4(mod.7),$
   $2 \times 10^{3} \equiv 5(mod.7),$
   $2 \times 10^{4} \equiv 1(mod.7),$
   $2 \times 10^{5} \equiv 3(mod.7),$
   $2 \times 10^{6} \equiv 2(mod.7)$
の公比 $10$ の等比数列である。

この2つの数列は上図の円環をグルグル回ることに相当し、初項が2項分違っているだけである。したがって循環節も2個分ずれる。実際
   $\frac{1}{7} = 0.\dot{1} 4285 \dot{7},$
   $\frac{2}{7} = 0.\dot{2} 8571 \dot{4}$
のようにずれているだけである。


§6. $m/p$($10$は原始根でない)の循環節

では分母の$p$が、法$p$において$10$が原始根にならないような素数のときを考察する。
具体例として、まず$1/13$を考える。$1/13$の余りの数列は、§4.のExcelの表を参照して
   $10^{1}\equiv 10 ,10^{2}\equiv 9 ,10^{3}\equiv 12 ,10^{4}\equiv 3 ,10^{5}\equiv 4,10^{6}\equiv 1$
である。次に$m/13$を考えるのだが、$m$としてここに出てきた$10,9,12,3,4,1$を採用しても、前節で述べたように循環節が何項かずれるだけである。そこでここに出てこなかった数を分子とする。

例えば$m=5$として$5/13$を循環小数にしてみよう。余りの数列は
   $5 \times 10^{1} ,5 \times 10^{2} ,5 \times 10^{3} ,5 \times 10^{4} ,5 \times 10^{5},5 \times 10^{6}$
となる。$5/13$の循環節の長さは$1/13$のそれと同じく $6$ になる。
なぜならば、割り初めの商は $5$ だったので、第何項で初めて $5$になるのかを考えればよい。すると
   $5 \times 10^{x} \equiv 5 $
より、両辺に $5(mod.p)$ の逆元($p=13$ と $m=5(<p)$ は互いに素だから逆元が存在する)を掛けて
   $10^{x} \equiv 1$
だから、結局 $1/p$ を考えたときとまったく同じなので、循環節の長さも等しくなるからである。

結局上の2つの分数の余りの数列は上図のように分子$=5$倍という操作で対応づけられる。実際に循環小数にすると
   $\frac{1}{13} = 0. \dot{0}7692 \dot{3},$
   $\frac{5}{13} = 0. \dot{3}8461 \dot{5}$
である。

上のように考えてくると、次の定理を得る。
【定理】 分母が素数 $p$ の分数 $m/p(1 \leq m <p)$ を循環小数に直したとき、循環節の長さ $e$ は $p-1$ の約数である。
(証明) $1/p$ の循環節の長さが $e$ であるとし、循環節(余りの円環)は $a_{1} \cdots a_{e}$ のように $e$ 個の異なる整数からなるものとする。
この循環節に現れなかった数字の一つを $m$ とすれば、$m/p$ の循環節の長さは同じく $e$ であり、その循環節(円環)を $b_{1} \cdots b_{e}$ とすれば、こにには先の循環節(円環)に現れたのと同じ数字は現れない。もし同じ数字が現れればそこから以降は同じ小数になってしまうからである。
次に、$a_{1} \cdots a_{e}$ にも $b_{1} \cdots b_{e}$ にも現れない数字の一つを $m'$ とし $m'/p$ を考えれば、また長さ $e$ の循環節(円環)を得る。この作業を繰り返していけば、余り $1,2, \cdots, p-1$ はいつかはすべてある循環節(円環)に組み入れられてしまって、何も残らなくなる。異なる循環節がちょうど $f$ 個取れたとすれば、
   $p-1=e \times f$
である。よって、$e$ は $p-1$ の約数である。■


§7. 混循環小数

§4.のExcelファイルを見ると青色の対角線上に $0$ と $1$ 以外の数が現れている所がある。ここに対応する数を分母とする分数は、どんな分数であろう。
例えば、分母が $6$ の所では、余りが $4$ になっている。$1/12$ を小数にすると
   $\frac{1}{12} = 0.08333 \cdots = 0.08 \dot{3}$
であり、途中から循環小数になる。これをこれまでの純循環小数と区別して、混循環小数と呼ぶ。容易に想像できるように、分母に $2$ または $5$ の素因数と、それ以外の素因数の両方を含んでいると、混循環になる。なぜかと言えば、部分分数に分解すると
   $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{3}{4}-1=\frac{1}{3} -\frac{1}{4}$
小数にすると
   $\frac{1}{12} = 0.333 \dots - 0.25 =0.08 + 0.00\dot{3}$
だから、小数第3位以下が循環することになる。結局、次の定理が成り立つ。


【定理】 分母が $2$ または $5$ の素因数と、それ以外の素因数の両方を含んでいるとき、混循環小数になる。


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