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make10パズルを解く

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§1. make10のルール

いまどき電車に乗るときに券売機で切符を買う人は少ない。
昔は suica などなかったから、切符を手に持って乗車するのだが、切符(硬券)には必ず4桁の数字が印字されていた。

例えば上の写真のように

6402

と印字されていたとしよう。昔はスマホなどなかったから、電車の中では暇だ。そこで暇つぶしに「6402」を足したり引いたり掛けたり割ったりしてちょうど 10 にならないか、計算してみる。すると

$6 + 4 + 0 \times 2 =10$,
$6 + 4 +0 \div 2 =10$,
$ 6 + 4 - 0 \times 2=10$,
$ 6 + 4 - 0 \div 2=10$

と4通りの方法で、make10 ができると分かる。

このパズルは簡単に解ける場合もあるが、なかなか難しいことが多いし、そもそも解がないこともある。

ここで、make10のルールをハッキリさせよう。

  1. 使う数字は、4桁の数に現れる4つの数。
  2. 4つの数字は左から順に使い、順序を変えてはならない。
  3. 使っていい演算子は、+, -, ×, ÷ の4つのみ。
  4. -を符号として使ってはならない。(「2-2+7+3」はよいが、「-2+2+7+3」は不可。)
  5. 括弧 ( ) を使ってよい。

ここで、ふつうの人は1通りでも10が作れたら、それで満足してしまう。我々はすべての組合せに当たって、すべての解を求める(または解が何通りできるかを求める)こととしよう。
「すべての組合せに当たる」のを手計算でやったら大変だから、10進BASIC を使うことにする。(10進BASICの処理系を持っていない読者は、別途無料ダウンロードしてください。)

§2. 何通りできるか

【問題】 特定の4桁の数字「abcd」に対し、10を作る方法が何通りあるか、調べるプログラムを作れ。---

【解】 10進BASIC で作ろう。プログラムは→puzzule001-03.BAS へのリンクをクリック。(ソースをコピーしてお使いください。)

【実行例】

上の例のように、「1234」の場合は、3通りの方法でmake10できる。

§3. 最高は? 0通りは?

【問題】 最も解答数が多い4桁の数字は何か。また、解がない4桁の数字はどれくらいあるか。---

【解】 プログラムは→puzzule001-04.BAS へのリンクをクリック。(ソースをコピーしてお使いください。)

【実行例】
解が「20通り以上、かつ999通り(実質∞通り)以下」の4桁の数字は、以下のように8個あり、その中から最多を探せばよい。

【答】「9101」の28通りだ。同じプログラムで「0通り以上、かつ0通り以下」とすれば、解のない4桁の数字が 10000個 の中に 4093個もあることが分かる。電車が目的地に着くまでに make10できずに降車することが多そうだ。



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