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【問題演習】2次関数
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目 次

【問題1】 2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが、2点$(-1,0)(3,8)$を通り、直線$y=2x+6$に接するとき$a,b,c$の値を求めよ。---

【問題2】 2次関数$y=-x^2+x (1<x<2)$の最大値、最小値を求めよ。---

【問題3】 二次関数のグラフを描くには、何個の点を明示すればよいか。---

【問題4】 放物線$y=x^2+ax+b$を$y$軸方向に$-8$だけ平行移動して、さらに、原点に関して対称移動したら、$y=-x^2+6x-4$になった。このときの$a,b$を求めよ。---

【問題5】 $1≦x≦3$において$f(x)=x^2-2ax+3a$ が常に正となるような$a$の範囲を求めよ。---


【問題1】 2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが、2点$(-1,0)(3,8)$を通り、直線$y=2x+6$に接するとき$a,b,c$の値を求めよ。---

【解】 $x=k$ で直線に接するようにしよう。$y=2x+6$ に $y=a(x-k)^2$ だけ下駄を履かせればよい。
放物線
   $y=a(x-k)^2+2x+6$
が2点$(-1,0)(3,8)$を通ればよいので
   $0 = a(-1-k)^2 +4,$
   $8 = a(3-k)^2 +12$
より
   $a(k+1)^2 = -4,$
   $a(k-3)^2 = -4$
この連立方程式を解いて
   $k=1, a=-1$
よって求める2次関数は
   $y=-(x-1)^2+2x+6 = -x^2 +4x +5$
(答) $a=-1, b=4, c=5$

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【問題2】 2次関数$y=-x^2+x (1<x<2)$の最大値、最小値を求めよ。---

【解】 平方完成して
   $y=-(x-1/2)^2+1/4$
   
でも開区間($1<x<2$)だから、最大値、最小値ともになし。……(答)

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【問題3】 二次関数のグラフを描くには、何個の点を明示すればよいか。---

【解】 通過する点を任意に3個決めれば、2次関数は決定される。頂点を明示する場合はあと1点を決めれば2次関数は決定される。結局、
(1) 任意の3点
または、
(2) 頂点と他の1点
を明示すればよい。実際の教科書を見ると、下図のようになっている。
   
左は「頂点と他の1点」だが、右は「頂点と他の2点」になっていて情報が冗長である。
これは多分、単なる気まぐれであって、さしたる理由はないのであろう。教科書はけっこういい加減だ。

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【問題4】 放物線$y=x^2+ax+b$を$y$軸方向に$-8$だけ平行移動して、さらに、原点に関して対称移動したら、$y=-x^2+6x-4$になった。このときの$a,b$を求めよ。---

【解】 「シャツを着て→上着を着る」の行動の逆を行うと、「上着を脱いで→シャツを脱ぐ」です。
「$y$軸方向に$-8$平行移動して→原点に関して対称移動」の逆操作は、
   「原点に関して対称移動して→$y$軸方向に$8$平行移動する」
になります。$-8$ でなく$ 8$ であることに注意。「着る」と「脱ぐ」の関係です。
対称移動は特殊で、順操作と逆操作が同じなのです。
   $y=-x^2+6x-4=-(x-3)^2+5$
の頂点が、$(3,5)\rightarrow (-3,-5) \rightarrow (-3,3)$となって、2次関数は
   $y=(x+3)^2+3=x^2+6x+12$
で、$a=6,b=12$ ……(答)
【別解】
$y=x^2+ax+b=(x+\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}$
 ↓
$y=(x+\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}-8$
 ↓
$-y=(-x+\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}-8$
最後の式を書き直すと
   $y=-(x-\frac{a}{2})^2-b+\frac{a^2}{4}+8=-x^2+ax-b+8$
これと問題文の式を比較して
   $a=6,-b+8=-4 \rightarrow b=12$ ……(答)

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【問題5】 $1≦x≦3$において$f(x)=x^2-2ax+3a$ が常に正となるような$a$の範囲を求めよ。---

【解】 $f(x)=(x-a)^2-a^2+3a$
に注意する。
   
(ア) $a \geq 3$のとき(図・上)
   $f(3)=-3a+9 >0 \Rightarrow a<3$
よって
   $\emptyset$
(イ) $1 \leq a \leq 3 $のとき(図・下)
   $f(a)=-a^2+3a >0 \Rightarrow 0<a<3$
よって
   $\{a |1 \leq a <3 \}$
(ウ) $a \leq 1 $のとき
   $f(1)=a+1 >0 \Rightarrow a>-1$
よって
   $\{a|-1 <a \leq 1\}$
(ア)~(ウ)を合わせて
   $-1 <a <3$ ……(答)
【別解】 最小値を$m(a)$とすれば
   $m(a)=\left\{ \begin{array}{l} a+1 & (a <1)\\ -a^2+3a & (1 \leq a <3) \\ -3a+9 & (3 \leq a) \end{array} \right. $
   
$m(a)>0$となる範囲は
   $-1 <a <3$

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