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グラフの平行移動と座標変換

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2次関数 $y=ax^{2}$ のグラフを平行移動するとどうなるか。これを斜面の運動と関連づけて述べよう。

【斜面の運動と座標変換】
斜面を球が転がり落ちる、というひとつの現象があったとする。この物理現象そのものが、時刻 $T$ に対し位置 $S$ を対応させる一つの関数であると言ってよい。
   $S=f(T) \cdots (1)$

これに対し2人の観測者がいて、A氏が自分の時計と物指で測定したら
   $y=ax^{2} \cdots (2)$
となり、B氏の時計と物指で測ると
   $Y=a(X-p)^{2} +q \cdots (3)$
となったとする。

A氏とB氏とでは使っている座標系が違うから、変数も違えた方が分かりやすいと考え、一方は小文字、他方は大文字で表わした。
(2)と(3)は、実数からへの関数と見ると、式が全く違うことからして異なる関数と言える。
しかし、両方とも同じ関数(1)を表現したものだから、表現方法が異なるだけで同じ関数であるとも言える。実際
   $x=X-p, y=Y-q$
という座標変換によって(2)は(3)にピッタリ同じになるのだから、これら2つの関数は同じものと言ってもよいだろう。



【座標軸の移動で説明】
上に述べたことをヒントにグラフの平行移動を説明しよう。

関数
   $y=ax^{2} \cdots (4)$         
のグラフがあったとする。これに対し、$x$軸を$x$軸方向に$-p$, $y$軸を$y$軸方向に$-q$だけ平行移動してできる新しい座標軸を$X$軸、$Y$軸とすれば、
   $X=x+p, Y=y+q$
すなわち
   $x=X-p, y=Y-q$
が座標変換の式となり、これは前節の座標変換の式と同値である。
したがって新座標で放物線の方程式を書き下すと
   $Y-q=a(X-p)^{2}$
すなわち
   $Y=a(X-p)^{2} +q \cdots (5)$
となる。座標軸を上述のように平行移動することは、グラフを$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動することと同じなので、$X,Y$を小文字に変えて
   $y=a(x-p)^{2} +q \cdots (5')$
これが、$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動したグラフの方程式になる。
一般に
   $y=f(x) \Rightarrow y=f(x-p)+q$
である。
ただこの説明は、グラフの移動を考えているのに実際には座標軸の方を移動していて、邪道とも言える。そこで以下に別の説明を考える。





【2つの運動と関数】
先に挙げた斜面の運動は、1つの現象を2人の観測者が見た場合のものであった。次に、1人の観測者(時計と物指は1組しかない)が見た2つの現象を考える。

斜面上を点Pから球を転がすと、
   $y=ax^{2} \cdots (6)$
となったとしよう。これを落体の2乗法則と呼んでおく。引き続いて $p$ 秒遅れて、$q$ メートルずれた点Qから同じ球を転がすと、
   $y=a(x-p)^{2} +q \cdots (7)$
となる。なぜだろうか。
2乗法則はいつでもどこでも成り立つ。(ニュートン的世界では時間、空間は均質だから)。すなわち適当に座標系を設定すれば
   $\mbox{☆} = a \mbox{□}^{2}$
という方程式になる。だから、点Pから転がしたとき
   $y=ax^{2} \cdots (6)$
になったとすれば、時刻をずらして点Qから転がしたら
   $Y=aX^{2} \cdots (7')$
になる。(6)と(7')で使った2つの座標系の関係が
   $x=X-p, y=Y-q$
であると考えれば、(7')は(7)になる。
この場合は、さきの斜面の問題と違い、2つの運動を1人の観測者が観測したのだから、(6)と(7)が同じ関数だと言うのには躊躇してしまう。



(蛇足)本式の物理学では、球に働く力から微分方程式をたててそれを解いて求める
斜面の運動が
   $ \frac{d^{2} y}{dx^{2}} = 2a$
という微分方程式で表わされるのなら、1回積分して初期条件:
   P発では $x=0$のとき $\frac{d y}{dx} =0$
   Q発では $x=p$のとき $\frac{d y}{dx} =0$
を考慮して
   $\frac{d y}{dx} =2ax$
   $\frac{d y}{dx} =2a(x-p)$
となり、さらにもう1回積分して初期条件:
   P発では $x=0$のとき $y =0$
   Q発では $x=p$のとき $y =q$
を考慮して
   $y=ax^{2} $
   $y=a(x-p)^{2} +q $
となる。


【グラフの移動の説明(2)】
今説明した2つの運動を1人が観測した場合をヒントに、グラフの平行移動の説明に再び挑戦しよう。
旧グラフ上の旧点 $(x,y)$ を$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動したら、新点の座標は
   $(X,Y)=(x+p, y+q)$
になる。すなわち
   $X=x+p, Y=y+q$
が成り立つ。
ところで旧点の座標では
   $y=ax^{2}$
という関係式が成り立つから、ここに
   $x=X-p, y=Y-q$
を代入すれば
   $Y-q=a(X-p)^{2}$
すなわち
   $Y=a(X-p)^{2} +q $
となる。最後に文字を小文字に変えて
   $y=a(x-p)^{2} +q$
である。

一般に
   $y=f(x) \Rightarrow y=f(x-p)+q$
である。


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