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【問題演習】指数・対数
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【問題1】 $2 \cdot 4^{x}-(3a+2)2^{x}+a^{2}+a=0$ $(a>0)$

【問題2】 $(\log_{4} 9-\log_{16} 3)(\log_{9} 16-\log_{3} 8)$ を計算せよ。---

【問題3】 (1) 等式$\log_{3}(x−2)=(1/2)$を満たす$x$の値を求めよ。

【問題4】 関数$y=(\log_{3} \frac{x}{27})(\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{x}) (\frac{1}{3} \leq x \leq 27)$の最大値と最小値を求めよ。---



【問題1】 $2 \cdot 4^{x}-(3a+2)2^{x}+a^{2}+a=0$ $(a>0)$
という方程式において
1)この方程式が異なる二つの実数解を持つときの二つの解は何か。
(2) また二つの和が1となるようなaの値は何か。---


【解】 $2^{x} = t(>0)$とおけば、与方程式は
   $2 t^{2} -(3a+2)t + (a^{2}+a) = 0$
となり、これを解の公式で解くと
   $2^{x} = t = \frac{3a+2 \pm \sqrt{(3a+2)^{2} - 8(a^{2}+a) }}{4}$
   $= \frac{3a+2 \pm \sqrt{ a^{2}+4a+4 } }{4}$
   $= \frac{3a+2 \pm (a+2)}{4}$
   $= a+1, \frac{a}{2}$
★ a+2 > 0 なので √ はきれいに外せます。

(1)の答は
   $x = \log_{2} (a+2), \log_{2} \frac{a}{2}$
★ a>0 より2解は一致しません(相異なる2つの実数解です)。

(2)
   $\log_{2} (a+2) + log_{2} \frac{a}{2} = \log_{2} \frac{a(a+2)}{2} = 1$
より
   $\frac{a(a+2)}{2} = 2^{1} = 2$
だから
   $a^2 + 2a -4 = 0$
また解の公式を使って
   $a = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$
ここで a>0 より
   $a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ …(答)■

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【問題2】 $(\log_{4} 9-\log_{16} 3)(\log_{9} 16-\log_{3} 8)$ を計算せよ。---

【解】 底の変換公式で底をすべて任意のものに変換します。底は2でも3でも10でも何でもいいです。底をすべて同じにすることが計算を楽にします。
   $(\frac{\log9}{\log4} - \frac{\log3}{\log16})(\frac{\log16}{\log9} - \frac{\log8}{\log3})$
   $=(\frac{2\log3}{2\log2}-\frac{\log3}{4\log2})(\frac{4\log2}{2\log3}-\frac{3\log2}{\log3})$
   $=\frac{3\log3}{4\log2} \cdot \frac{-\log2}{\log3}$
   $= -3/4$ ……(答)

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【問題3】 (1) 等式$\log_{3}(x−2)=(1/2)$を満たす$x$の値を求めよ。
(2) 不等式$\log_{3}(x−2)+\log_{1/9}(3−x)>1/2$を満たす$x$の範囲を求めよ。---


【解】(1) $x-2 = 3^{1/2} =\sqrt{3}$
より
   $x = 2 + \sqrt{3}$ ……(答)
(2)
   $\log_{3} (x-2) +\frac{\log_{3} (3-x)}{\log_{3}(1/9)}=log_{3} (x-2) -\frac{1}{2}\ log_{3} (3-x)$
   $=log_{3} \frac{x-2}{\sqrt{3-x}}$
だから
   $\frac{x-2}{\sqrt{3-x}} > \sqrt{3}$
両辺2乗して
   $(x-2)^2 > 3(3-x)$
この2次不等式を解き、真数条件($2<x<3$)を加味して
   $\frac{1 + \sqrt{21}}{2} < x < 3$ ……(答)
【蛇足】グラフは下図のようになる。

   

2つの$\log$の真数条件の共通部分=$\{ 2<x<3\}$の中から、1/2の横線より上に行く部分を探すのである。ところがある人は、

「$x \leq 2$と$3 \leq x$の部分も解に含まれる。なぜなら、この範囲では片方の$\log$の値は存在しない。存在しないものに関する言明は恒に真だから、この範囲で所与の不等式が成り立つから。」

と言った。たしかに、存在しないものに関する言明は恒真命題で、『現在のフランス国王は禿頭である』は正しい(フランスに国王はいないから)。
でもそうなると、不等式
   $\sqrt{x}<1$
の解は
   $x<1$
(ふつうは$0 \leq x <1$とする)でよいということになる。高校数学では、不等式に現れているすべての関数の値が存在する範囲(=すべての関数の定義域の共通部分)の中から解を求めることになっているからである。
しかも、その解を実数の範囲内から探すことになっている。だから、
   $x^2 \leq -1$
は「解なし」が正しく、$x=i$などは解になるのに、と言ってはならない。

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【問題4】 関数$y=(\log_{3} \frac{x}{27})(\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{x}) (\frac{1}{3} \leq x \leq 27)$の最大値と最小値を求めよ。---

【解】 底の変換公式と商の対数が対数の差になることを使って
   $y=(\log_{3} x - \log_{3} 27) \cdot \frac{\log_{3} 3 -\log_{3} x}{\log_{3} 1/3}$
   $=(\log_{3} x - 3) (\log_{3} x -1)$
ここで$\log_{3}x=t$とおいて、2次関数の最大最小問題に持ち込む。ただし定義域に制限のついた最大最小問題になる。そこで$t$の動く範囲を出すと($\log_{3}x$は単調増加関数だから)
   $\log_{3} \frac{1}{3} \leq \log_{3}x \leq \log_{3}27$
   $-1 \leq t \leq 3$
これが定義域で、2次関数の式は
   $y=(t-3)(t-1)=t^2-4t+3=(t-2)^2-1$
と平方完成できるので、
   最大値は$y=8$で、$t=-1$すなわち$x=3^{-1}=1/3$のときであり、
   最小値は$y=-1$で、$t=2$すなわち$x=3^2=9$のときである。 ……(答)

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