桁数を対数で求める

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(1)　「$\log_{10}2=0.3010$ とするとき $2^{30}$ は何桁の整数か」というような問題がよくある。
$M=2^{30}$ の常用対数(10を底とする対数)をとって

$\log_{10}M=\log_{10}{2^{30}}=30 \log_{10}2=30\times 0.3010=9.030$

なので、$9<\log M<10$ より $10^9<10^{\log M}<10^{10}$ になる。ここで

$a^{\log_{a}b}=b$

から、$10^9<M<10^{10}$ となって、$M$ は 10桁の整数という答が出る。

(2)　なぜ、ここで対数をとるのか？と初学者は悩むことがある。そもそも対数とは

$\log_{10}{10}=1$,
$\log_{10}{100}=2$,
$\log_{10}{1000}=3$,
$\log_{10}{10000}=4$,
$\cdots \cdots$

と並べてみると分かるように、桁数 (よく見ると "桁数＋１" だが) のことと思ってよい。
だから、「何桁ですか」という問題には対数をとってみるわけだ。

(3)　だから、対数＝桁数が分かっていないと、(1)のような解答は出てこないだろう。
むしろ、次のような解法が素直である。対数の定義から

$\log_{10}{2}= 0.3010 \Leftrightarrow 2=10^{0.3010}$

のように、書き直すことができる。したがって、

$2^{30}=(10^{0.3010})^{30}=10^{9.030}$

となって、$10^9<M<10^{10}$ となる。

(4)　でも、最も素直なやり方は、なんといっても $2^{30}$ を実際に計算してみることだ。$2^{10}=1024$ は指折り数えながら

$2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024$

と暗算で出るので、これを３乗すればよい。筆算2回でできるので、それほど面倒な計算ではない。おそらく 3分かからないだろう。

$2^{30}=1024^3=1073741824$ (10桁)

少しでも、計算をはしょろうとするのなら、

$10^3<2^{10}<2\times 10^3$

より

$10^9<2^{30}<8\times 10^9$

とすればよい。

（5） 「桁数は対数で」ということが分かったところで、問題を出しておこう。
【問題】 Excel において、A1 のセルに、任意の整数または小数 $M$ を入力する。別のセルに $M$ の整数部分の桁数を格納したい。どんな計算式を作ればよいか。---

　　　

例えば上図のように A1 セルに "12345" を入力したら、5桁だから "5" を出力するようにしたい。

　　　

いくつか実験すると

$\log_{10}{0.1}=-1$,
$\log_{10}{0.01}=-2$,
$\log_{10}{0.001}=-3$,
$\cdots \cdots$

だから、例えば $M=0.00123$ ならば小数第3位に初めて $0$ でない数が現れるが

$0.001\leq M <0.01$,
$-3 \leq \log_{10}M<-2$,
$\log_{10}M=-2.***$ または $=-3$

である。ということは、対数の値が $-m.***$ なら、小数第 $(m+1)$ 位に初めて $0$ でない数が現れ、対数の値がちょうどピッタリ $-m$ だったら小数第 $m$ 位に初めて $0$ でない数が現れるのである。

（7） 【問題】 Excel において、A1 のセルに、1 より小さい正数 $M$ を入力する。$M$ が小数第〇位に初めて $0$ でない数が現れる小数であるとき、〇に該当する整数そ別のセルに格納したい。どんな計算式を作ればよいか。---