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桁数を対数で求める

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(0) 「2の30乗は何桁の整数か」というような問題がよくある。常用対数(10を底とする対数)をとって


なので、109 と 1010 の間の数になるから、10桁という答が出る。


(1) なぜ、ここで対数をとるのか? 対数とは


と並べてみると分かるように、桁数 (よく見ると桁数+1だが) のことと思ってよい。
 だから、「何桁ですか」という問題には対数をとってみるわけだ。


(3) しかし、対数=桁数が分かっていないと、(0)のような解答は出てこないだろう。むしろ、次のような解法が素直である。対数の定義から


のように、書き直すことができる。したがって、


となって、109 と 1010 の間となる。


(4) でも、最も素直なやり方は、なんといっても 230 を実際に計算してみることだ。210 =1024 は暗算で出るので、これを3乗すればよい。それほど面倒な計算ではない。少し、計算をはしょろうとするのなら、


より


とすればよい。


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