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【問題演習】極限
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目 次

【問題1】 極限値$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2-x}}{x-1}$を求めよ。---

【問題2】 極限値$\lim_{ x \rightarrow 1} \frac{x-1}{|x-1|}$を求めよ。---

【問題3】 斜辺 BC の長さが $a$ の直角三角形 ABC がある。斜辺 BC を $n$ 等分する点を $M_{1},M_{2},\cdots,M_{n-1}$ とし、$\sum_{k=1}^{n-1} AM_{k}^2 =S_{n}$ とするとき、$\lim S_{n}/(n-1)$ を求めよ。---


【問題1】 極限値$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2-x}}{x-1}$を求めよ。---

【解】 分子の有理化です。
   $\lim \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{2-x})(\sqrt{x} + \sqrt{2-x}) }{(x-1)(\sqrt{x} + \sqrt{2-x})}$
   $=\lim \frac{x-(2-x) }{(x-1)(\sqrt{x} + \sqrt{2-x})}$
   $=\lim \frac{2 }{\sqrt{x} + \sqrt{2-x}}$
   $=1$ ■

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【問題2】 極限値$\lim_{ x \rightarrow 1} \frac{x-1}{|x-1|}$を求めよ。---

【解】 下記のように、右側極限値と左側極限値が一致しないので、極限値なしが正解です。
   $\lim_{ x \rightarrow 1+0} \frac{x-1}{|x-1|}=\lim_{ x \rightarrow 1+0} \frac{x-1}{x-1}=1$
   $\lim_{ x \rightarrow 1-0} \frac{x-1}{|x-1|}=\lim_{ x \rightarrow 1-0} \frac{x-1}{-(x-1)}=-1$

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【問題3】 斜辺 BC の長さが $a$ の直角三角形 ABC がある。斜辺 BC を $n$ 等分する点を $M_{1},M_{2},\cdots,M_{n-1}$ とし、$\sum_{k=1}^{n-1} AM_{k}^2 =S_{n}$ とするとき、$\lim S_{n}/(n-1)$ を求めよ。---

解】 底辺 $b$, 高さ $c$ ($a^2= b^2 +c^2$) とし、Aを原点にとり、底辺、高さを $x$ 軸、$y$ 軸に取る。
   

   $M_{k} = ( \frac{kb}{n}, \frac{c(n-k)}{n} )$
だから
   $S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{n^2} \{k^2 b^2 + (n-k)^2 c^2 \}$
   $= b^2 \frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^2} + c^2 \frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^2}$
   $=a^2\frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^2}$
よって
   $\frac{S}{n-1} = a^2 \frac{n(2n-1)}{6n^2} = a^2 \frac{2-\frac{1}{n}}{6}$
   $\rightarrow \frac{a^2}{3}$ ……(答)
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