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n次元球の体積

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(1) ゲルファント著『やさしい数学入門 座標法』(ちくま学芸文庫,2016)の188ページに
4次元球、5次元球、6次元球、7次元球の体積がそれぞれ
  $V_{4}(R) = \frac{\pi^{2}R^{4} }{2}$
  $V_{5}(R) =\frac{8 \pi^{2}R^{5} }{15}$ 
  $V_{6}(R) =\frac{\pi^{3}R^{6} }{6}$
  $V_{7}(R) =\frac{16 \pi^{3}R^{7} }{105}$
であると書かれているが、導き方が書かれていない。
そこで、体積の求め方をここに記す。

(2) $n$次元球$ x_{1}^{2} + \cdots +x_{n}^{2} \leq R^{2}$の体積$V_{n}$を求める。

このとき、1つ次元が低い球の体積$V_{n-1}$を既知として求める。
球を$x_{1}$軸に垂直な$n-1$次元超平面(今の場合はふつうの平面)で細かく輪切りにすると、スライス円柱ができる。
その円柱は
  底面が半径$ \sqrt{ x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} } = \sqrt{ R^{2}-x_{1}^{2}} $の$n-1$次元球(今の場合は円)で、
  高さが$d x_{1}$
である。
したがってスライス円柱の$n$次元体積は、
  $V_{n-1}({\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2} } }) dx_{1}$
だから、これを積分すればよい。
$ V_{n}(R) = 2 \int_{0}^{R} V_{n-1}(\sqrt{ R^{2} - x_{1}^{2} }) dx_{1} $
これが漸化式だ。

(3) 4次元球の体積を求める
$ V_{3}(R) = \frac{4\pi}{3} R^{3}$ を
$ V_{4}(R) = 2 \int_{0}^{R} V_{3}(\sqrt{ R^{2} - x_{1}^{2} }) dx_{1} $
に代入すると
$ V_{4}(R) = 2 \int_{0}^{R} \frac{4\pi}{3}(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}})^{3}dx_{1} $
ここで置換積分する。$x_{1} = R \sin \theta$ とおけば
$dx_{1} = R \cos \theta d \theta$だから
$V_{4}(R)=2\int_{0}^{R}\frac{4\pi}{3} R^{3}(1- \sin^{2} \theta)^{3/2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{4\pi}{3} R^{4} \cos ^{4} \theta d\theta $

(4) 最後のところで、ある有名な公式を使う。それが
$I_{n} = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}\theta d\theta $ のとき
$I_{1}=1, I_{2} = \frac{\pi}{4}, I_{n} = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$
である。
$ I_{4} = \frac{3}{16} \pi$
だから
$ V_{4}(R) = \frac{\pi^{2}}{2} R^{4}$

(5) 5次元球の体積
$ V_{5}(R) = 2 \int_{0}^{R} \frac{\pi^{2} }{2}(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}})^{4}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{2} }{2} R^{4}(1- \sin^{2} \theta)^{2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{2}}{2} R^{5} \cos ^{5} \theta d\theta $
$ = \pi^{2} R^{5} I_{5} $
$ =\pi^{2} R^{5} \frac{8}{15} $
$ = \frac{8\pi^{2}} {15} R^{5}$

(6) 6次元球の体積
$ V_{6}(R) = 2 \int_{0}^{R} \frac{8\pi^{2} }{15}(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}})^{5}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{8\pi^{2} }{15} R^{5}(1- \sin^{2} \theta)^{5/2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{8\pi^{2}}{15} R^{6} \cos ^{6} \theta d\theta $
$ = \frac{16\pi^{2}}{15} R^{6} I_{6} $
$ =\pi^{2} R^{6} \frac{5\pi}{32} $
$ = \frac{\pi^{3} R^{6} } {6}$

(7) 7次元球の体積
$ V_{7}(R) = 2 \int_{0}^{R} \frac{\pi^{3} }{6}(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}})^{6}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{3} }{6} R^{6}(1- \sin^{2} \theta)^{3} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{3}}{6} R^{7} \cos ^{7} \theta d\theta $
$ = \frac{\pi^{3}}{3} R^{7} I_{7} $
$ =\frac{\pi^{3}}{3} R^{7} \frac{16}{35} $
$ = \frac{16\pi^{3}} {105} R^{7}$


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