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和の法則から反復試行まで

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例題1 3本の当たりを含む5本のクジがある。甲乙2人がこの順でくじを1本ずつ引く。乙の当たる確率はいくらか。
【解】 乙が当たる確率は、和の法則で

  P(B) = (3/5)×(2/4) + (2/5)×(3/4) =3/5 ……(*)
が答である。(結局、甲が当たる確率と同じで、平等なくじだ。)

類題10円玉と100円玉各1枚を同時に投げる。
(1) 下の樹形図を完成せよ。
(2) 両方とも表になる確率はいくらか。
(3) 2枚のうち1枚だけ表になる確率はいくらか。


【解】
(1) □の中に確率の値を書く(すべて1/2)。樹形図の根元から枝をたどりつつ確率を掛けたもの(積の法則)を「カタカナ=」の次に書けばよい(すべて1/4)。
(2) 10円玉が表になる確率が1/2 になるということはたくさん実験すれば半分は表になるということで、そのうちのさらに半分は100円玉も表になるだろうから、両方とも表になる確率は両者の積になるとしてよい。これを積の法則という。(10円玉が表) (100円玉が表) だから、「でかける」で掛けるのだと覚えておこう。(駄洒落)
ア=1/4
(3) 1枚だけ表」=(,ウラ) (ウラ,) だから、1/4 + 1/4 と加法を使えばよい。「~か~」だから法と覚えておこう。これを和の法則という。イ+ウ=1/2



例題2 白玉6個と黒玉4個が入った袋があり、ここから玉を同時に3個取り出すとき、白1個と黒2個が出る確率
【解】 積の法則を重視して、確率同志のかけ算を多用しよう。

(白黒黒)の順に出てくる確率 = 6/10 × 4/9 × 3/8,
(黒白黒)の順に出てくる確率 = 4/10 × 6/9 × 3/8,
(黒黒白)の順に出てくる確率 = 4/10 × 3/9 × 6/8

という具合に3つの場合の計算式は、分母はすべて同じで分子は順序が異なるだけで、確率の値は等しくなる。求めるべき確率はこれら3つの和だから

6/10 × 4/9 × 3/8 × 3C1 = 3/10 ……(1)

である。なぜ3C1倍かと言えば、白、黒、黒の並べ方が 3C1=3通りだからである。
(別解:$\frac{_{6}C_{1} \times _{4}C_{2} }{_{10}C_{3}} = \frac{3}{10}$)



例題3 白玉6個と黒玉4個が入った袋から、玉を1個取り出しては元に戻すということを3回繰り返すとき、白が1回、黒が2回出る確率(反復試行という)
【解】 積の法則と二項係数を使って、

6/10 × 4/10 × 4/10 × 3C1 = 36/125 ……(2)

である。前問の(1)と式の作り方は大同小異なので簡明であろう。


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