条件付き確率を計算する

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【条件付き確率とは】
B という事象が起こったという状況のもとで、A という事象も起こった（起こる）確率が、「B という条件の下で A が起こる条件付き確率」であり、
　　　$P_{B}$$(A) = $$\frac{P(A \cap B)} {P(B) }$
がその値なのだが、直観的にすぐ分かる場合と、ベイズの定理で求める場合がある。
　　
後者のときは樹形図を描いて考える。
分子は
　　(ア) = $P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B) $
(ここで事前確率$P(A)$も事後確率$P_{A}(B)$もその値が分かっているとする。）
分母は和の法則で
　　　$P(B) = (ア)＋(ウ) = P(A) \times P_{A}(B) +P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)$
となる。最右辺を「全確率の公式」と言う。
結局
　　　$ P_{B}(A) = \frac{(ア)} {(ア)+(ウ)}$$　= \frac{P(A) \times P_{A}(B)} { P(A) \times P_{A}(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B) } $
となることが分かるが、これを「ベイズの定理」と言う。

【例題１】 3つの箱のうち１つだけに賞金100万円が入っている。あなたはAの箱を選んだのだが、進行役は残り2つの箱のうちのBを開けて見せ、「これは空っぽです。あなたの選ぶ箱をAからCに変更してもいいですよ」と言う。変更した方が得か。(モンティ・ホールのパラドックス)---

(解)

箱を変更しないで賞金がもらえる確率は
　　　$\frac{\mbox{(ア)}}{ \mbox{(ア)+(イ)}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$
となりもとの確率に等しく、Cに変更した場合はその余事象だから$\frac{2}{3}$になる。したがって変更した方が得。■

(別解) 箱を変えていいというのはBとCの2つの箱に賭けてよいというのと同じである。変えなければA1個に賭けることになるので、それよりは2倍得だ。

【例題２】独房に私とＡとＢの３人の囚人がいる。このうち２人が死刑になり，残る１人は無罪放免にされるのだが，具体的に誰が助かるのかを私は知らない。
問（１）私が死刑になる確率はいくらか。---

　（答１）　$\frac{2}{3}$ (助かる確率が$\frac{1}{3}$だから，$1$から引けばよい。)

問（２）私は誰が死刑になるのかを看守に聞いた。看守は「それは秘密だから教えられない」と言ったが，「本人に教えるのでなければいいではないか。ＡかＢのどちらが死刑になるのかだけ，私にこっそり教えてくれてもいいだろ」と私はねばった。
看守はしばらく考えていたが，「まあ，いいだろ。Ａは死刑になるよ」と耳打ちしてくれた。
あとはＢか私のどちらかが死刑になるのだから，私が死刑になる確率は$\frac{1}{2}$であると言ってよいか。だとすると，私が死刑になる確率は問（１）に比べて減少したといって喜んでよいのか。---

　(答２A)　仮に看守が情報を教えてくれなくても，ＡかＢかのいずれかが死刑になるのは当り前だ。すると，看守に聞かなくても初めから私が死刑になる確率は$\frac{2}{3}$であったのだ。(この解答では納得がいかない人が多いでしょう。)
　(答２B)　下図から、「Ａ死」と言ったときの私が死刑になる条件付き確を求めればよい。
　　　　　
条件付き確率は
$ P = \frac{(ア)}{(ア)+(ウ)} = \frac{\frac{1}{3}} {\frac{1}{3}+\frac{1}{6} } = \frac{2}{3} $
で答は$\frac{2}{3}$。 確率の値は初めと比べて減少しない。
この死刑囚の問題の出典は、マーチン・ガードナーであるらしい。

【例題３】
　　　　

　（答） $\frac{1}{3}$

(別解)

【同型の3つの例題】
以上3つの例題は、パラドックスとかジレンマと呼ばれる変わった面白い問題であった。
３つに共通して言えることは、条件付き確率を使えば分かりやすく解明できるということである。しかも樹形図がまったく同じになるので、これら3つの問題は同型になるということも分かる。
また、3つとも条件付き確率なる概念を使わずに解明することもできるのだが、その場合には、３つは各々独自の方法で解決を図るようになる。（こっちの解法の方が初等的であるように見えるが、かえって理解するには難しいと思う。）

【練習問題】
5本中2本当たりのクジがある。阿部(A)君→馬場(B)君がこの順で1本ずつ引く。ただし引いたクジは元には戻さない。
(1) 下の樹形図を完成せよ。
(2) 馬場君が当たる確率はいくらか。
(3) 馬場君が当たったとき、阿部君も当たっている確率を求めよ。

【解】
(1)左の列は、$\frac{2}{5}, \frac{3}{5}$ であり、２列目は上から $\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{2}{4}, \frac{2}{4}$ であり、右の列は ア$=\frac{2}{20}$, イ$=\frac{6}{20}$, ウ$=\frac{6}{20}$, エ$=\frac{6}{20}$

アについて、 (A当たり)で(B当たり)の確率は、積の法則で $P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B) $ となるが、$P_{A}(B) $のことを「Aが当たったときの、Bが当たる条件つき確率」という。だから$P_{A}(B)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $だ。

(2) ア＋ウ＝$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$
(3)の条件付き確率はさっきと逆になる。アとウの世界の中で、アの起こる割合と考えればよい。

$P_{B}(A)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$=\frac{\mbox{ア}}{\mbox{ア＋ウ}} =\frac{\frac{2}{20}}{\frac{2}{20}+\frac{6}{20}}=\frac{1}{4}$