計算できない確率

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【例題１】 下図のような街路がある。ＡからＢまで最短経路で行くとき、Ｃを通過する確率はいくらか。

（誤答例１）　Ａ→Ｂの経路は 5C3 = 10 通りである。そのうち、Ｃを通過するのは 2Ｃ1×3Ｃ2=6通りだから
$P= \frac{6}{10} =\frac{3}{5}$
これは10経路あるから、10本くじを作ってそこから1本引いて行くべき経路を決める方式である。

（誤答例2）　各交差点では東か北に行くことになったとき、両者の確率は等しいとしよう。
A→Cとたどる確率は
$ P=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} =\frac{1}{2}$
これは枝分かれの交差点に来るたびに2本のくじから1本を引くという考えに基づいている。

結局、この問題に正解はない。確率分布が決まっていないからである。（「同程度リスト」に出ていないからと言ってもよい。）

(参考文献)小柴善一郎『数学漂流記』(三省堂選書,1989刊）p.164

【例題２】袋の中に碁石が２個入っている。中から１個を取り出したら黒石だった。残る石も黒石である確率を求めよ。

（誤答例１）　1個目が黒のとき、袋の中が（黒黒）である条件付き確率だから、ベイズの定理である。

Ａ：黒石２個
Ｂ：黒石１個
Ｃ：黒石０個

の３つの事象のうちのどれかが起きていたわけだが、この３つのおのおのが生起する確率（事前確率と言う）は等しいと考えると、

Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｃ）＝1/3

である。問題の条件つき確率は

$ P_{K}(KK) $$= \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} } = \frac{2}{3}$

ということで答は2/3である。
どこが間違いかというと、袋に黒石が何個含まれているかという場合が３つあって、その各場合の起こる確率が等しい（従って1/3）としたところがおかしいのである。

（誤答例２）　コインを２枚同時に投げて

（表表），（表裏），（裏裏）

の起こる確率はそれぞれ 1/4, 2/4, 1/4 であるのだから、碁石の場合も

P(A)=1/4, P(Ｂ)=2/4, P(Ｃ)=1/4

としてみたらどうなるか。この値を使ってベイズの定理を適用すると

$ P_{K}(KK) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{2}{4} \times \frac{1}{2} }=\frac{1}{2}$

となって、今度はなんと 1/2 が答となる。間違いの原因は誤答例１と同じ。

　A,B,Cの各確率がこのように、どうにでも決められるのだ。だから、答はどのようにでもなる。答を一つに決めることはできない。