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2の3乗根のガロア群

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有理数体 $\mathbb Q$ に 2の3乗根 $\sqrt[3]{2}$ を添加して体を作る。それは
   $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$
であって、その元は
   $\frac{a \sqrt[3]{4}+b \sqrt[3]{2}+c}{a' \sqrt[3]{4}+b' \sqrt[3]{2}+c'}$
(ただし $a,b,c,a',b',c' \in \mathbb Q$ ) である。この体は虚数を含まない。

ところで $\sqrt[3]{2}$ が満たすべき特性方程式は
   $f(x)=x^3-2=0$
だ。この方程式は $\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}$ (1つの実数根と2つの虚数根)を根に持つ。
したがって $f(x)$ の $\mathbb Q$ 上の分解体は
   $L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2})=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\omega)$
である。$\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ の方は $\omega$ を含まないから分解体ではない。

よって $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ は $\mathbb Q$ 上のガロア拡大体(正規拡大体)ではない。
「方程式 $x^3-2=0$ のガロア群」と称する場合、それは $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ ではなく、$\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\omega)$ に対応する変換群のことである。

それでは、その「$x^3-2=0$ のガロア群」を求めてみよう。

ガロア理論には、1個の原始要素 $\theta$ で
   $L=\mathbb Q(\theta)$
となるという定理がある。その原始要素を求めればよい。

その前に、$L$ と $\mathbb Q$ の間に、次のような中間体 $K$ を考えることにしよう。
$\mathbb Q$ に適当に 1 の累乗根(今の場合は $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i }{2}$ )を添加して
   $K=\mathbb Q(\omega)$
とするのである。これを基礎体にしておけば、
   $L=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\omega)=K(\sqrt[3]{2})$
である。$K$ 上の原始要素は $\sqrt[3]{2}$ であって、$f(x)$ は $K$ 上のガロア拡大体 $L$ のガロア方程式である。その拡大次数は 3次だから、ガロア群は位数が 3で
   $Gal(L/K)=\{ id, \sigma, \sigma^2\}$
という群である。その内実は
   $id: \sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2};\omega \sqrt[3]{2} \mapsto \omega \sqrt[3]{2}; \omega^2 \sqrt[3]{2} \mapsto \omega^2 \sqrt[3]{2}$,
   $\sigma: \sqrt[3]{2} \mapsto \omega \sqrt[3]{2}; \omega \sqrt[3]{2} \mapsto \omega^2 \sqrt[3]{2}; \omega^2 \sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2}$,
   $\sigma^2: \sqrt[3]{2} \mapsto \omega^2 \sqrt[3]{2}; \omega \sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2}; \omega^2 \sqrt[3]{2} \mapsto \omega \sqrt[3]{2}$
の3つの元から成る群である。置換の形で書けば
   $id=\left( \begin{array}{ccc}\sqrt[3]{2} & \omega \sqrt[3]{2} & \omega^2 \sqrt[3]{2} \\ \sqrt[3]{2} & \omega \sqrt[3]{2} & \omega^2 \sqrt[3]{2} \end{array} \right)$,
   $\sigma=\left( \begin{array}{ccc}\sqrt[3]{2} & \omega \sqrt[3]{2} & \omega^2 \sqrt[3]{2} \\ \omega \sqrt[3]{2} & \omega^2 \sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} \end{array} \right)$,
   $\sigma^2=\left( \begin{array}{ccc}\sqrt[3]{2} & \omega \sqrt[3]{2} & \omega^2 \sqrt[3]{2} \\ \omega^2 \sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega \sqrt[3]{2} \end{array} \right)$
すなわち
   $id=\left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)$,
   $\sigma=\left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right)=(01 2 )$,
   $\sigma^2=\left( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right)=(0 2 1)$
これは3次対称群 $S_{3}$ の中の偶置換から成る集合(=3次交代群 $A_{3}$) である。

蛇足】 $Gal(L/K)$ が偶置換のみからなることは次のようにしても分かる。
根の $x_{1}=\sqrt[3]{2}, x_{2}=\omega \sqrt[3]{2}, x_{3}=\omega^2 \sqrt[3]{2}$ の差積:
   $(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})=(\sqrt[3]{2})^2(1-\omega)(1-\omega^2)(\omega-\omega^2)$
   $=6 \sqrt{3} i$
は基礎体 $K$ に含まれている。ところでこの差積(=判別式の平方根) は対称式だから、根に対して奇置換を施すと $-1$ 倍される、よって差積は基礎体に属さないことになる。だから奇置換はガロア群に属さない。

次に $L$ を $K$ 上ではなく、$\mathbb Q$ 上の拡大体と見たときのガロア群 $Gal(L/\mathbb Q)$ を調べよう。
$K/\mathbb Q$ が2次拡大体で特性方程式は $x^2+x+1=0$ で、$L/K$ は3次拡大体で特性方程式は $f(x)=x^3-2=0$ であった。
だから $L/\mathbb Q$ は $2 \times 3=6$ 次の拡大体である。このときの原始要素は
   $\theta=\sqrt[3]{2} + \omega$
である。

その特性方程式を求めよう。
   $x=\sqrt[3]{2} + \omega$,
   $(x-\omega)^3=(\sqrt[3]{2})^3$,
   $x^3-3 \omega x^2 +3 \omega^2 x-1=2$,
$\omega^2+\omega+1=0$ より
   $x^3-3 x-3=3 \omega x(x+1)$,
   $\omega=\frac{x^3-3 x-3}{3 x(x+1)}$,
これを $\omega^2+\omega+1=0$ に代入して
   $(x^3-3 x-3)^2+3 x(x+1)(x^3-3 x-3)+9 x^2(x+1)^2=0$
   $g(x)=x^6 + 3 x^5 + 6 x^4 + 3 x^3 + 9 x + 9=0$

逆にこの方程式を解くと
   $(x^3-3 x-3)^2+3 x(x+1)(x^3-3 x-3)+9 x^2(x+1)^2=0$,
   $(\frac{x^3-3 x-3}{3 x(x+1)})^2+\frac{x^3-3 x-3}{3 x(x+1)}+1=0$,
   $\frac{x^3-3 x-3}{3 x(x+1)}=\omega, \omega^2$,
   $x^3-3 x-3=3 \omega x(x+1); x^3-3 x-3=3 \omega^2 x(x+1)$,
   $(x-\omega)^3=(\sqrt[3]{2})^3; (x-\omega^2)^3=(\sqrt[3]{2})^3$,
   $x-\omega=\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}; x-\omega^2=\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}$
より
   $x_{0,1}= \sqrt[3]{2}+\omega=0.76+0.87 i$,
   $x_{1,1}=\omega \sqrt[3]{2}+\omega=-1.13+1.96 i$,
   $x_{2,1}=\omega^2 \sqrt[3]{2}+\omega=-1.13-0.23 i$,
   $x_{0,2}= \sqrt[3]{2}+\omega^2=0.76-0.87 i$,
   $x_{1,2}=\omega \sqrt[3]{2}+\omega^2=-1.13+0.23 i$,
   $x_{2,2}=\omega^2 \sqrt[3]{2}+\omega^2=-1.13-1.96 i$
という 6個の解が求まる。
これらの根のうち、どの2つまたは3つを足しても有理数にならないので、$g(x)$ は(2次式)×(4次式)にも、(3次式)×(3次式)にも因数分解できないことが分かる。すなわち $g(x)$ は既約である。

$\{ x_{i,j} \}$ の元の間の同型写像を求めよう。これを特徴づけるには $\omega$ と $\sqrt[3]{2}$ の共役要素への行き先が決まればよい。$\mathbb Q$ 上同型写像を $\sigma$ とすれば
   $\sigma(\omega)^2+\sigma(\omega)+1=\sigma(\omega^2+\omega+1)=0$,
   $\sigma(\sqrt[3]{2})^3=\sigma(\sqrt[3]{2}^3)=2$
だから
   $\sigma(\omega)=\omega, \omega^2$,
   $\sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}$
したがって、たしかに
   $\sigma_{i,j}(x_{0,1})=\sigma( \sqrt[3]{2}+\omega)=\omega^i \sqrt[3]{2}+\omega^j =x_{i,j} (i=0,1,2; j=1,2)$
である。同型写像(6つある)を $\sigma_{i,j}$ で表記すると
   $\sigma_{0,1}, \sigma_{1,1}, \sigma_{2,1},\sigma_{0,2},\sigma_{1,2},\sigma_{2,2}$
これを置換の形で書けば
   $\sigma_{0,1}=\left( \begin{array}{ccc} x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,2} & x_{1,2} & x_{2,2} \\ x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,2} & x_{1,2} & x_{2,2} \end{array} \right)$,
   $\sigma_{1,1}=\left( \begin{array}{ccc} x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,2} & x_{1,2} & x_{2,2} \\ x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,1} & x_{1,2} & x_{2,2} & x_{0,2} \end{array} \right)$,
   $\sigma_{2,1}=\left( \begin{array}{ccc} x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,2} & x_{1,2} & x_{2,2} \\ x_{2,1} & x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,2} & x_{0,2} & x_{1,2} \end{array} \right)$,
   $\sigma_{0,2}=\left( \begin{array}{ccc} x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,2} & x_{1,2} & x_{2,2} \\ x_{0,2} & x_{2,2} & x_{1,2} & x_{0,1} & x_{2,1} & x_{1,1} \end{array} \right)$,
   $\sigma_{1,2}=\left( \begin{array}{ccc} x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,2} & x_{1,2} & x_{2,2} \\ x_{2,2} & x_{1,2} & x_{0,2} & x_{2,1} & x_{1,1} & x_{0,1} \end{array} \right)$,
   $\sigma_{2,2}=\left( \begin{array}{ccc} x_{0,1} & x_{1,1} & x_{2,1} & x_{0,2} & x_{1,2} & x_{2,2} \\ x_{1,2} & x_{0,2} & x_{2,2} & x_{1,1} & x_{0,1} & x_{2,1} \end{array} \right)$,
巡回置換で表すと
   $\sigma_{0,1}=id$,
   $\sigma_{1,1}=(123)(456)$,
   $\sigma_{2,1}=(132)(465)$,
   $\sigma_{0,2}=(14)(26)(35)$,
   $\sigma_{1,2}=(16)(25)(34)$,
   $\sigma_{2,2}=(15)(24)(36)$
だが、これの乗算表は下図の通り。
   

実は $\sigma_{i,j}$ を $\omega^0 \sqrt[3]{2},\omega^1 \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}$ (それぞれ $0,1,2$ と略称)がどこへ行くかで表すと
   $\sigma_{0,1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)=id$,
   $\sigma_{1,1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right)=(012)$,
   $\sigma_{2,1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right)=(021)$,
   $\sigma_{0,2}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right)=(12)$,
   $\sigma_{1,2}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 0 \end{array} \right)=(02)$,
   $\sigma_{2,2}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right)=(01)$
これの乗算表は下図であり、上図の乗算表ともちろん同じ(同型)である。
   

ということは、$Gal(L/\mathbb Q)$ は3次対称群 $S_{3}$ である。
   

結局、$x^3-2=0$ の $\mathbb Q$ 上のガロア体は 6次拡大体で、ガロア群は位数6の $S_{3}$ である。


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