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3次方程式の解の公式(ビエート)

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実係数の3次方程式を逆三角関数を使ってよいこととして、解いてみよう。(ビエートの方法。)

   $y^3+A y^2 +By +C=0$
は $y=x-\frac{A}{3}$ と置き換えれば2次の項が消えるから、初めから
   $x^3+p x +q=0$ … (1)
を解くこととする。

3倍角の公式により
   $\cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta -3 \cos \theta$
だから、「角の3等分」方程式
   $4 x^3-3 x=\alpha$ … (2)
ただし
   $-1 \leq \alpha \leq 1$ … (3)
の解は
   $\theta=\frac{1}{3} \cos^{-1} \alpha, \frac{1}{3} \cos^{-1} \alpha+\frac{2}{3} \pi, \frac{1}{3} \cos^{-1} \alpha+\frac{4}{3} \pi$
より
   $x=\cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} \alpha), \cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} \alpha+\frac{2}{3} \pi), \cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} \alpha+\frac{4}{3} \pi)$ … (4)
と求まる。

そこで (1) が異なる3つの実数解を持つと仮定する。そのための条件は
   $f(x)=x^3+p x +q$,
   $f'(x)=3x^2+p $
とおくと極値を2つ持たねばならないから、
   $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{-\frac{p}{3}}$
より $p<0$ が出てくる。また極大値と極小値が異符号であることから
   $f( \sqrt{-\frac{p}{3}})f(- \sqrt{-\frac{p}{3}}) <0$
だから
   $\frac{4}{27}p^3+q^2<0$ … (5)
この不等式は $p<0$ を含意するから、この不等式が異なる3つの実数解を持つ(「3次方程式の還元不能の場合」と呼ばれる)ための必要十分条件である。
ちなみに3次方程式 (1) の判別式は
   $D=-4 p^3-27 q^2$
なので、この不等式は $D>0$ と同値である。

(1) において $x=a x'$ と変換すると
   $a^3 x'^3 +a p x'+q=0$,
   $4 x'^3+\frac{4 p }{a^2}x'=-\frac{4 q}{a^3}$
これを角の3等分方程式と係数比較して
   $\frac{4 p }{a^2}=-3, -\frac{4 q}{a^3}=\alpha$
だから
   $a=2 \sqrt{- \frac{p}{3}}, \alpha=\frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}}$
これを (4) に放り込んで
   $x'=\cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}}) )$,
   $x'=\cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}}) +\frac{2}{3} \pi)$,
   $x'=\cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}}) +\frac{4}{3} \pi)$
したがって
   $x=2 \sqrt{- \frac{p}{3}}\cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}}) )$,
   $x=2 \sqrt{- \frac{p}{3}}\cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}}) +\frac{2}{3} \pi )$,
   $x=2 \sqrt{- \frac{p}{3}}\cos(\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}}) +\frac{4}{3} \pi )$
である。

最後にこのときの $\alpha$ が (5) を満たすことを確認しておく。(5) の両辺を $p^3<0$ で割って
   $\frac{4}{27}+\frac{q^2}{p^3}>0$,
   $1>-\frac{27 q^2}{4 p^3} \geq 0$
だから
   $\alpha^2=( \frac{3 q}{2 p}\sqrt{-\frac{3}{p}})^2=-\frac{27 q^2}{4 p^3}$
の値は
   $0 \leq \alpha^2<1$
で、(5) はOKだ。


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