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2次方程式の解き方いろいろ

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§1. 婆茶留高校お勧めの方法

【例題 1】 2次方程式 $-9x^2+6x-13=0$ を解け。---

【解1-1】 両辺を $-1$ 倍して
   $9x^2-6x+13=0$
   $D=36-4\cdot 9\cdot 13=36-468=-432$
数Ⅰなら、$D<0$ のため、実数解なし。……(答)

数Ⅱなら、
   $x=\frac{6\pm 12\sqrt{3}i}{18}$
このあと $(6,12,18)$ の 3数を同時に約分して
   $x=\frac{1\pm 2\sqrt{3}i}{3}$……(答)

ところで両辺を $-1$ 倍したのは、そうしないと
   $x=\frac{-6\pm 12\sqrt{3}i}{-18}=\frac{1\mp 2\sqrt{3}i}{3}$
で、複号はさかさまでも同じだから
   $x=\frac{1\pm 2\sqrt{3}i}{3}$……(答)
としてよい、との断り書きが面倒だからだ。

【例題 2】 2次方程式 $2x^2+x-15=0$ を解け。---

【解2-1】 $D=1+4\cdot 2\cdot 15=121$
   $x=\frac{-1\pm 11}{4}=\frac{10}{4},\frac{-12}{4}=\frac{5}{2},-3$……(答)

$D$ が2乗数($=11^2$) になった時点で因数分解できることが分かるのだが、あえて解の公式を使うのだ。

このように、すべての2次方程式を同じ方法 ($D \rightarrow x$) で解くのだ。この方法はオール・マイティ(常に使える方法)だ。

§2. 教科書主義の方法

【例題 1】 2次方程式 $-9x^2+6x-13=0$ を解け。---

【解1-2】 両辺を $-1$ 倍して
   $9x^2-6x+13=0$
数Ⅰなら、
   $9(x-\frac{1}{3})^2+12>0$ のため、実数解なし。……(答)

数Ⅱなら、解の公式を使って
   $x=\frac{6\pm 12\sqrt{3}i}{18}=\frac{6(1\pm 2\sqrt{3}i)}{18}=\frac{1\pm 2\sqrt{3}i}{3}$……(答)

実数解を持たないことを示した方法は厳密だけど、平方完成は面倒だ。

【例題 2】 2次方程式 $2x^2+x-15=0$ を解け。---

【解2-2】 $(2x-5)(x+3)=0$
   $x=\frac{5}{2},-3$……(答)

因数分解できるときには解の公式は使わない、という立場だ。

§3. 原理主義的方法

【例題 2】 2次方程式 $2x^2+x-15=0$ を解け。---

【解2-3】 $x^2+\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$
   $(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}=\frac{15}{2}$
   $(x+\frac{1}{4})^2=\frac{121}{16}$
   $x+\frac{1}{4}=\pm\sqrt{\frac{121}{16}}=\pm\frac{11}{4}$
   $x=-\frac{1}{4}\pm\frac{11}{4}=\frac{5}{2},-3$……(答)

毎回この解き方をするのはいくらなんでもシンドイ。解の公式を曾野綾子のように目の敵にしないで、大いに使えばよいだろう。


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